第一章 1.3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是( C )
A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了做乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单
B．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度
C．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度
D．秦九韶算法避免了对自变量x单独做幂的计算，而且与系数一起逐次增长幂次，从而提高计算的精度
[解析] 秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度，故选项C错误．
2．利用秦九韶算法求f(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋6x5当x＝2时的值时，下列说法正确的是( B )
A．先求1＋2×2
B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4
C．f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解
D．以上都不对
[解析] 利用秦九韶算法应先算anx＋an－1，再算(anx＋an－1)x＋an－2，故选B．
3．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] (84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．
4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( C )
A．7 B．12
C．17 D．34
[解析] 该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．
由程序框图知，
第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．
5．如图所示的程序表示的算法是( B )
A．交换m、n的值 B．辗转相除法
C．更相减损术 D．秦九韶算法
6．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6在x＝3时，v3的值为( C )
A．－486 B．－351
C．－115 D．－339
[解析] f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6
＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，
∴v0＝a4＝－6，
v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，
v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，
v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.
二、填空题
7．用秦九韶算法计算f(x)＝3x4＋2x2＋x＋4当x＝10时的值的过程中，v1的值为__30__.
[解析] 改写多项式为f(x)＝(((3x＋0)x＋2)x＋1)x＋4，则v0＝3，v1＝3×10＋0＝30.
8．216和319的最大公约数是__29__.
[解析] 319＝1×261＋58，
261＝4×58＋29，
58＝2×29，
故261和319的最大公约数为29.
三、解答题
9．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；
(2)用更相减损术求561与255的最大公约数．
[解析] (1)1 764＝840×2＋84，
840＝84×10＋0，
所以840与1 764的最大公约数为84.
(2)561－255＝306，
306－255＝51，
255－51＝204，
204－51＝153，
153－51＝102，
102－51＝51
所以561与255的最大公约数为51.
10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2当x＝－2时的值．
[解析] ∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋0·x3＋x2＋0.3x＋2
＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2
∴当x＝－2时，
v0＝1，
v1＝－2－5＝－7，
v2＝－7×(－2)＋6＝20，
v3＝20×(－2)＋0＝－40，
v4＝－40×(－2)＋1＝81，
v5＝81×(－2)＋0.3＝－161.7，
v6＝－161.7×(－2)＋2＝325.4，
∴f(－2)＝325.4.
B级 素养提升
一、选择题
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋4x4－3x2＋x－1，当x＝13时的值时，先算的是( C )
A．13×13 B．5×135
C．5×13＋4 D．(5×13＋4)×3
[解析] 把多项式表示成如下形式：f(x)＝((((5x＋4)x＋0)x－3)x＋1)x－1，按递推方法，由内往外，先算5x＋4的值，故选C．
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( A )
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
[解析] 根据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．
二、填空题
3．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q和r的值分别为__13,21__.
[解析] 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24的商为13，余数是21.
∴q＝13，r＝21.
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值：
①第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.
第三步，输出f(x)．
②第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
第三步，输出f(x)．
③需要计算5次乘法，5次加法．
④需要计算9次乘法，5次加法．
以上说法中正确的是__②③__(填序号)．
[解析] ①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确．对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误．
三、解答题
5．已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3是的值．
[解析] 因为f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，
v0＝2，
v1＝2×3＋0＝6，
v2＝6×3－4＝14，
v3＝14×3＋3＝45，
v4＝45×3－5＝130，
v5＝130×3＋1＝391，
所以f(3)＝391.
6．求1 734,816,1 343的最大公约数．
[解析] 用辗转相除法．
先求1 734与816的最大公约数
1 734＝816×2＋102,816＝102×8，
所以1 734与816的最大公约数为102.
再求102与1 343的最大公约数
1 343＝102×13＋17,102＝17×6，
所以1 343与102的最大公约数为17.
故1 734,816,1 343的最大公约数为17.
7．甲，乙，丙三种溶液的质量分别为147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶最多装多少？
[解析] 由题意，每个小瓶中装入的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．
先求147与343的最大公约数：
343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数：
133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14,35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，
所以147,343,133的最大公约数为7，即每瓶最多装7 g.
课件45张PPT。第一章算法初步1.3 算法案例第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法自主预习学案在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来．
∴18和30的最大公约数是2×3＝6.如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8 251与6 105的最大公约数？
1．辗转相除法
(1)辗转相除法是用于求__________________________的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫________________.
(2)所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用____________除以____________.若余数不为零，则将__________________构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时____________就是原来两个数的最大公约数．两个正整数的最大公约数 欧几里得算法 较大的数 较小的数 余数和较小的数 较小的数 (3)算法步骤：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第______步．
(4)程序框图．0 二 2．更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著________________中介绍的一种求两数最大公约数的方法．
(2)更相减损术的基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用______约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数________较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数________为止，则这个数或这个数与约简的数的________就是所求的最大公约数．《九章算术》 2 减去 相等 乘积 3．秦九韶算法
(1)概念：求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项式的值，共进行______次乘法运算和______次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.一次 n n 设v1＝______________，
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…，
vn＝_________________.anx＋an－1 vn－1x＋a0 (2)算法步骤：
第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数an和x的值．
第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n－1.
第三步，输入i次项的系数ai.
第四步，v＝vx＋ai，i＝__________.
第五步，判断i是否大于或等于______.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值______.i－1 0 v (3)程序框图如图所示．1．辗转相除法可解决的问题是( )
A．求两个正整数的最大公约数
B．多项式求值
C．求两个正整数的最小公倍数
D．排序问题
[解析] 辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数．A 2．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16,12)→(4,12)→ (4,8)→(4,4)，由此可以看出16和12的最大公约数是( )
A．4 B．12
C．16 D．8
[解析] 按更相减损术求最大公约数，到最后(4,4)相等，故最大公约数为4.A 3．用更相减损术求225与30的最大公约数时，需要做减法运算的次数是
( )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析] 225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15，故225与30的最大公约数是15，需要做8次减法运算．B 4．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )
A．5,4 B．5,5
C．4,4 D．4,5
[解析] n次多项式，当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法；若各项均不为0，则需进行n次加法(或减法)，缺一项就减少一次加法(或减法)运算，而这个5次多项式的5次系数不为1，缺常数项，因而乘法次数为5，加法(或减法)次数为5－1＝4.故选D．D 5．245与75两数的最小公倍数为______________.
[解析] 先求245与75的最大公约数．(245,75)→(170,75)→(95,75)→ (20,75)→(55,20)→(35,20)→(15,20)→(5,15)→(10,5)→(5,5)．
故245与75的最大公约数为5，
∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3 675.3 675 6．分别用辗转相除法和更相减损术求357和105的最大公约数，并求最小公倍数．
[解析] 辗转相除法：357＝105×3＋42，
105＝42×2＋21，
42＝21×2.
故105与357的最大公约数为21.更相减损术：357－105＝252，
252－105＝147，
147－105＝42，
105－42＝63，
63－42＝21，
42－21＝21.
故105与357的最大公约数为21.最小公倍数为105×357÷21＝1 785.互动探究学案 用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
[思路分析] 1.辗转相除法与更相减损术的主要区别是什么？
2．将80作为大数，36作为小数，执行辗转相除法和更相减损术的步骤即可．命题方向1 ?辗转相除法和更相减损术的应用典例 1 [解析] 用辗转相除法：
80＝36×2＋8，
36＝8×4＋4，
8＝4×2＋0.
故80和36的最大公约数是4.用更相减损术检验：
80－36＝44，
44－36＝8，
36－8＝28，
28－8＝20，
20－8＝12，
12－8＝4，
8－4＝4.
故80和36的最大公约数是4.『规律总结』 1.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
2．利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简．也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．
3．当两个整数的差较大时，利用辗转相除法计算的次数较少．〔跟踪练习1〕 (1)用辗转相除法求288与123的最大公约数．
(2)用更相减损术求57与93的最大公约数．
[解析] (1)288＝123×2＋42,123＝42×2＋39，
42＝39×1＋3,39＝3×13，
∴288和123的最大公约数是3.
(2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→(9,6)―→(3,6)―→(3,3)，
∴93与57的最大公约数是3. 用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1在x＝2时的值．
[思路分析] 利用秦九韶算法一步一步地代入运算，注意本题中有某几次项不存在；在计算时，应将这些项加上，比如缺少x3这一项，可看作0·x3加上．命题方向2 ?秦九韶算法的应用典例 2 [解析] f(x)＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1，
依次用公式计算当x＝2时的值：
v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1 397，
故当x＝2时，多项式的值为1 397.『规律总结』 (1)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度抽象性、概括性和精确性．对于一个具体算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败．算法是思维的条理化、逻辑化．
(2)算法既重视“算则”，更重视“算理”．对于算法而言，一步一步地程序化步骤，即“算则”固然重要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用，“算理”是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现．
(3)用秦九韶算法时要正确将多项式的形式进行改写，然后由内向外依次计算．当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．〔跟踪练习2〕 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．
[解析] f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1
＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，
而x＝－2，所以有
v0＝1，v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3，
v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4，
v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2，
v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1，
v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.
故f(－2)＝－1. 求325,130,270三个数的最大公约数．
[思路分析] 求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．
[解析] 解法一(辗转相除法)：因为325＝130×2＋65,130＝65×2，所以325和130的最大公约数为65.
因为270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2，
所以65和270的最大公约数为5，
故325,130,270三个数的最大公约数为5.命题方向3 ?求三个正整数的最大公约数典例 3 解法二(更相减损术)：325－130＝195,195－130＝65,130－65＝65.
所以325和130的最大公约数是65.
270－65＝205,205－65＝140,140－65＝75,75－65＝10,65－10＝55,55－10＝45,45－10＝35,35－10＝25,25－10＝15,15－10＝5,10－5＝5.
所以270与65的最大公约数为5.
所以325,130,270的最大公约数为5.『规律总结』 理解辗转相除法的实质，从计算结果上看，辗转相除法是以相除余数为零而得到结果的．〔跟踪练习3 求三个数175,100,75的最大公约数．
[解析] 先求175与100的最大公约数：
175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3，
∴175与100的最大公约数是25.
再求25与75的最大公约数：
75－25＝50,50－25＝25，
∴75和25的最大公约数是25.
∴175,100,75的最大公约数是25. 已知：f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1，用秦九韶算法求f(3)的值．
[错解] 因为f(x)＝(((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，
所以当x＝3时，
v0＝1，v1＝3＋1＝4，
v2＝4×3＋1＝13，
v3＝13×3＋1＝40，
v4＝40×3＋1＝120＋1＝121，
所以当x＝3时，f(3)＝121.典例 4 [辨析] 当多项式中间出现空项时，用秦九韶算法求函数值要补上系数为0的相应项，忽略了这一点，导致结果出现错误．
[正解] 原多项式可化为：
f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，
当x＝3时，
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，
v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，
v5＝94×3＋1＝283，
所以，当x＝3时， f(3)＝283.通过算法案例的学习，知道算法的核心是一般意义上的解决问题的策略的具体化．对于一个实际问题，我们在分析、思考后可将之转化为数学问题，从而获得解决它的基本思路．算法案例在实际生活中的应用 现有长度为2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批棱上无接点的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？
[思路分析] 要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋截成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使得每种规格的钢筋截取后没有剩余，因此截取的长度应为2.4与5.6的公约数；为使得正方体的体积最大，因此截取的长度应为2.4与5.6的最大公约数．典例 5 [解析] 用更相减损术来求2.4与5.6的最大公约数：
5.6－2.4＝3.2，
3.2－2.4＝0.8，
2.4－0.8＝1.6，
1.6－0.8＝0.8，
因此2.4与5.6的最大公约数为0.8.
所以使得正方体的棱长为0.8 m时，正方体的体积最大且不浪费材料．1．用辗转相除法求36与134的最大公约数，第二步是( )
A．134－36＝98 B．134＝36×3＋26
C．先除以2，得到18与67 D．36＝26×1＋10
[解析] 求36与134的最大公约数，第一步是134＝36×3＋26，第二步是36＝26×1＋10，故选D．D 2．用更相减损术求123与51的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A．3 B．5
C．6 D．8
[解析] (123,51)→(72,51)→(21,51)→(21,30)→(21,9)→(12,9)→(3,9)→(3,6) →(3,3)所以共做了8次减法．D 3．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )
A．27 B．11
C．109 D．36
[解析] 将函数式化成如下形式：
f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36.D 4．用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是______.
[解析] 98＝63×1＋35,63＝35×1＋28,35＝28×1＋7,28＝4×7＋0，∴最大公约数为7.7 5．已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．
[解析] f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，
v0＝3，
v1＝3×(－2)＋0＝－6；
v2＝－6×(－2)＋2＝14；
v3＝14×(－2)＋4＝－24；
v4＝－24×(－2)＋2＝50.
故f(－2)＝50.课时作业学案第一章 1.3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．k进制数32 501(k)，则k不可能是( A )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] k进制数中各个数字均小于k，则k≠5.
2．以下各数中有可能是六进制数的为( D )
A．65 B．106
C．732 D．5 134
[解析] 六进制数只含有0,1,2,3,4,5这6个数字，故选D．
3．下列各数中，最小的是( C )
A．101 010(2) B．111(5)
C．32(8) D．54(6)
[解析] 101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×22＝42，
111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31，
32(8)＝3×81＋2×80＝26，
54(6)＝5×61＋4×60＝34.
又42＞34＞31＞26，故最小的是32(8)．
4．下列与二进制数1 001 101(2)相等的是( A )
A．115(8) B．113(8)
C．114(8) D．116(8)
[解析] 先化为十进制数：
1 001 101(2)＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为八进制．
所以77＝115(8)，
所以1 001 101(2)＝115(8)．
5．下列各数中最小的数是( D )
A．85(9) B．210(6)
C．1 000(4) D．111 111(2)
[解析] 化为十进制数后进行比较．
85(9)＝8×9＋5＝77；
210(6)＝2×62＋1×6＝78；
1000(4)＝1×43＝64；
111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝63.
∴111 111(2)最小，故选D．
6．把89化为五进制数的末位数字为( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 故89＝3 24(5)，故选D．
二、填空题
7．把1 234化为七进制数为__3 412(7)__.
[解析]
8．103(5)化为十进制数为__28__.
[解析] 103(5)＝1×52＋0×51＋3×50＝28.
三、解答题
9．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数．
[解析] 由题意得36＝4×k1＋4×k0，则k＝8.
故67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.
10．把八进制数2 011(8)化为五进制数．
[解析] 2 011(8)＝2×83＋0×82＋1×81＋1×80
＝1 024＋0＋8＋1＝1 033.
∴2 011(8)＝13 113(5)．
B级 素养提升
一、选择题
1．把77化成四进制数的末位数字为( D )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 77＝1×43＋0×42＋3×41＋1×40，即77＝1 031(4)．
2．在八进制中12(8)＋7(8)＝21(8)，则12(8)×7(8)的值为( B )
A．104(8) B．106(8)
C．70(8) D．74(8)
[解析] 12(8)＝1×81＋2×80＝10(10)，
7(8)＝7×80＝7(10)，
12(8)×7(8)＝70(10)．
故70(10)＝106(8)．即12(8)×7(8)＝106(8)．
3．将数30 012(4)转化为十进制数为( B )
A．524 B．774
C．256 D．260
[解析] ∵30 012(4)＝2＋1×4＋3×44＝2＋4＋768＝774，故选B．
4．下列所给的四个数中，最小的是( B )
A．3 732(8) B．5 555(7)
C．2 011 D．133 210(4)
[解析] 3 732(8)＝3×83＋7×82＋3×8＋2＝2 010，
5 555(7)＝5×73＋5×72＋5×7＋5＝2 000，
133 210(4)＝1×45＋3×44＋3×43＋2×42＋1×4＋0＝2 020，故选B．
二、填空题
5．21(7)＋13(4)＝__22__.
[解析] 21(7)＝2×71＋1×70＝15,13(4)＝1×41＋3×40＝7，则21(7)＋13(4)＝15＋7＝22.
6．若k进制数132(k)与二进制数11 110(2)相等，则k＝__4__.
[解析] 将这两个数都转化为十进制数，132(k)＝k2＋3k＋2,11 110(2)＝24＋23＋22＋21＝30，
∴k2＋3k＋2＝30，解之得k＝4或k＝－7(舍去)．
三、解答题
7．将十进制数117转化为三进制数．
[解析] 117＝3×39＋0,39＝3×13＋0,13＝3×4＋1,4＝3×1＋1,1＝3×0＋1，
故117＝3×(3×(3×(3×1＋1)＋1)＋0)＋0
＝1×34＋1×33＋1×32＋0×3＋0
＝11 100(3)．
这种算法也可以用下面的除法算式来表示：
故117＝11 100(3)．
8．若10y1(2)＝x02(3)，求数字x、y的值及与此两数等值的十进制数．
[解析] ∵10y1(2)＝x02(3)，
∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，
将上式整理得9x－2y＝7，
由进位制的性质知，
x∈{1,2}，y∈{0,1}，
当y＝0时，x＝(舍)，
当y＝1时，x＝1.
∴x＝y＝1，已知数为102(3)＝1 011(2)，
与它们相等的十进制数为
1×32＋0×3＋2＝11.
9．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如下图，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？
[解析] 由题图可知这组烽台表示的二进制数为11 011(2)，它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是1 000，所以入侵的敌人数量为27×1 000＝27 000.
课件35张PPT。第一章算法初步1.3 算法案例第2课时 进位制自主预习学案美籍匈牙利科学家冯·诺依曼最新提出程序存储的思想，并成功将其运用在计算机的设计之中，根据这一原理制造的计算机被称为冯·诺依曼结构计算机．
从20世纪初，科学家们就在争论制造可以进行数值计算的机器应该采用什么样的结构．人们被十进制这个人类习惯的计数方法所困扰．而冯·诺依曼大胆提出，抛弃十进制，采用二进制作为数字计算机的数制基础．从ENIAC到当前最先进的计算机都是采用冯·诺依曼体系，所以他是当之无愧的数字计算机之父．1．进位制
(1)概念：进位制是为了__________________而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制．
(2)基数：几进制的基数就是______.
2．不同进位制之间的互化
(1)k进制化为十进制的方法：
anan－1…a1a0(k)＝________________________________________(an，an－1，…，a1，a0∈N,0
(2)十进制化为k进制的方法——______________.计数和运算方便 几 ankn＋an－1kn－1＋…＋a1k＋a0 除k取余法 1．以下各数有可能是五进制数的是( )
A．15 B．106
C．731 D．21 340
[解析] 五进制数中各个数字均是小于5的自然数，则仅有21 340满足，故选D．D 2．将数30 012(4)转化为十进制数为( )
A．524 B．774
C．256 D．260
[解析] 30 012(4)＝3×44＋0×43＋0×42＋1×41＋2×40＝774.B 3．把13化为六进制数为( )
A．6(6) B．12(6)
C．13(6) D．21(6)
[解析]
∴13＝21(6)．D 4．312(5)化为十进制数后的个位数字为______.
[解析] 312(5)＝3×52＋1×5＋2＝82，所以个位数字为2.2 5．将八进制数127(8)化成二进制数；
[解析] 先将八进制数127(8)化为十进制数．
127(8)＝1×82＋2×81＋7×80
＝64＋16＋7＝87，
再将十进制数87化成二进制数：
所以87＝1 010 111(2)，所以127(8)＝1 010 111(2)．互动探究学案 将下列各数化为十进制数．
(1)11 001 000(2)；(2)310(8)．
[思路分析] 解答本题可按其他进制转化为十进制的方法，先写成不同位上的数乘以基数的幂的形式，再相加求和．
[解析] (1)11 001 000(2)＝1×27＋1×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋0×20＝200；
(2)310(8)＝3×82＋1×81＋0×80＝200.命题方向1 ?k进制数化为十进制数典例 1 『规律总结』 将k进制数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．〔跟踪练习1〕 (1)101(2)转化为十进制数是( )
A．2 B．5
C．20 D．101
(2)下列最大数是( )
A．110(2) B．18
C．16(8) D．20(5)
[解析] (1)101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5.
(2)110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6；16(8)＝1×81＋6×80＝14；20(5)＝2×51＋0×50＝10.则最大数是18.B B (1)把十进制数89化为二进制数；
(2)将十进制数21化为五进制数．
[解析] (1)根据“满二进一”的原则，可以用2连续去除89所得商，然后取余数—即除2取余法．命题方向2 ?把十进制数化为k进制数典例 2 『规律总结』 十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
〔跟踪练习2〕 (1)把十进制数15化为二进制数为( )
A．1 011 B．1 001(2)
C．1 111(2) D．1 111
(2)把四进制数13 022化为六进制数．
[解析] (1)因为
所以15＝1 111(2)，故C正确．C 下列结论正确的是( )
A．88(9)＜210(6) B．62＝124(5)
C．110(2)＞10(3) D．32(4)＝23(6)
[错解] 选A或B
[辨析] 对于选项A没有进行转化，而直接由210(6)是三位数，88(9)是两位数，三位数大于两位数，从而误选A；对于选项B省略了转化，因为10是5的2倍，从而误以为五进制数是十进制数的2倍，从而误选B．典例 3 C [正解] 对于A：
因为88(9)＝8×9＋8×90＝80，
210(6)＝2×62＋1×6＋0×60＝78，80＞78，所以A错误．
对于B：因为124(5)＝1×52＋2×5＋4×50＝39≠62，所以B错误．
对于C：因为110(2)＝1×22＋1×2＋0×20＝6，
10(3)＝1×3＋0×50＝3,6＞3，所以C正确．
对于D：因为32(4)＝3×4＋2×40＝14，
23(6)＝2×6＋3×60＝15,14≠15.k进制数可直接利用公式anan－1…a1a0(k)＝ankn＋an－1kn－1＋…＋a1k＋a0转化为十进制数，十进制数转化为k进制数可利用“除k取余法”，两种非十进制的不同进制之间相互转化时，可以把十进制作为转化的中间桥梁．不同进位制数之间的互化 把八进制数2 015(8)化为五进制数． 典例 4 1．101(9)化为十进制数为( )
A．9 B．11
C．82 D．101
[解析] 101(9)＝1×92＋0×91＋1×90＝82.C 2．把189化为三进制数，则末位数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3A 3．计算机中常用的十六进制是满16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于( )
A．6E B．72
C．5F D．B0
[解析] A×B用十进制可以表示为10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用十六进制表示为6E，故选A．A 4．完成下列进位制之间的转化．
(1)10 231(4)＝__________(10)；
(2)132(7)＝________(10)；
(3)137(10)＝__________(6)；
(4)1 231(5)＝__________(7)；
(5)213(4)＝______________(3)；
(6)1 010 111(2)＝______________(4)．301 72 345 362 1 110 1 113 [解析] (1)10 231(4)＝1×44＋0×43＋2×42＋3×4＋1＝301(10)，
∴10 231(4)＝301(10)．
(2)132(7)＝1×72＋3×71＋2＝72(10)，
∴132(7)＝72(10)．5．比较三个数111 111(2)，1 111(4)和11(8)的大小．
[解析] 因为111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1×20
＝32＋16＋8＋4＋2＋1＝63.
1 111(4)＝1×43＋1×42＋1×4＋1×40＝64＋16＋4＋1＝85.
11(8)＝1×8＋1×80＝8＋1＝9，
又85＞63＞9，所以1 111(4)＞111 111(2)＞11(8)．课时作业学案