第三章 3.1 3.1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．(cos－sin)(cos＋sin)＝( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 原式＝cos2－sin2＝cos＝.
2．若tanα＝3，则的值等于( D )
A．2 B．3
C．4 D．6
[解析] 原式＝＝2tanα＝6.
3．已知sin(－x)＝，则cos(－2x)的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] cos(－2x)＝1－2sin2(－x)＝1－＝.
4．若α为锐角，3sinα＝tanα＝tanβ，则tan2β等于( D )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 由3sinα＝tanα，得cosα＝，∴sinα＝.
∴tanβ＝3sinα＝2，tanβ＝2.
∴tan2β＝＝－.
5．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝( A )
A．－ B．－
C． D．
[解析] sinα＋cosα＝，两边平方可得1＋sin2α＝?sin2α＝－.
α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，
所以cosα－sinα＝－＝－＝－，
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝－.
6．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为( A )
A．－ B．－
C． D．
[解析] sin4α－cos4α＝－(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－.
二、填空题
7．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan2α＝__－__.
[解析] 由题意可知，tanα＝－，
所以tan2α＝＝＝－.
8．化简：·＝__tan2α__.
[解析] 原式＝·
＝＝＝tan2α.
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan15°＋tan215°；
(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.
[解析] (1)原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
(2)原式＝tan30°(1－tan215°)＋tan215°
＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1.
(3)方法一：sin10°sin30°sin50°sin70°
＝cos20°cos40°cos80°
＝
＝
＝＝·＝.
方法二：令x＝sin10°sin50°sin70°，y＝cos10°cos50°cos70°，则xy＝sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°，
＝sin20°·sin100°·sin140°
＝sin20°sin80°sin40°
＝cos10°cos50°cos70°＝y.
∵y≠0，∴x＝.
从而有sin10°sin30°sin50°sin70°＝.
10．已知sinα＋cosα＝，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
[解析] ∵sinα＋cosα＝
∴sin2α＋cos2α＋2sinα·cosα＝，
∴sin2α＝－且sinαcosα＝－<0.
∵0<α<π，sinα>0，∴cosα<0，∴sinα－cosα>0，
∴sinα－cosα＝＝，
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝×(－)＝－，
∴tan2α＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知锐角α的终边经过点P(cos50°，1＋sin50°)，则锐角α等于( C )
A．10° B．20°
C．70° D．80°
[解析] 由三角函数的定义tanα＝＝＝＝＝＝tan70°.
所以α＝70°.
2.＋2的化简结果是( A )
A．2cos4－4sin4 B．2sin4
C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
[解析] 原式＝＋2
＝·＋2
＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4.
3．若＝－，则cosα＋sinα的值为( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ＝
＝
＝－(cosα＋sinα)＝－.
∴sinα＋cosα＝.
4．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( B )
A． B．
C． D．－1
[解析] sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.
二、填空题
5．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于____.
[解析] 由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.∵α∈(0，)，∴cosα＝，
∴α＝，∴tanα＝tan＝.
6．已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝__－__.
[解析] 由题意sin2α＝，∴tan2α＝－.
∴tan(＋2α)＝＝＝－.
三、解答题
7．已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0]．
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
[解析] (1)∵m与n为共线向量，
∴(cosα－)×1－(－1)×sinα＝0，
即sinα＋cosα＝.
(2)由(1)得1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
∴sin2α＝－.
∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，
∴(sinα－cosα)2＝2－()2＝.
又∵α∈[－，0]，∴sinα－cosα<0，sinα－cosα＝－.
因此，＝.
8．求值：sin50°(1＋tan10°)．
[解析] 原式＝sin50°(1＋)
＝sin50°·
＝sin50°·
＝sin50°·
＝sin50°·＝
＝＝＝1.
9．(广东高考)已知tanα＝2.
(1)求tan(α＋)的值；
(2)求的值．
[解析] (1)tan(α＋)＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝＝
＝1.
课件37张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式自主预习学案在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？
二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表2sinαcosα 2cos2α－1 1－2sin2α 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)对任意的角总有sin2θ＝2sinθ.( )
(2)不存在角α，使得cos2θ＝2cosθ.( )× × × √ √ D C A 互动探究学案 求下列各式的值：命题方向1 ?利用二倍角公式解决给角求值问题典例 1 『规律总结』 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．二倍角公式的变形应用 典例 2
典例 3
[误区警示] 盲目地运用公式化简函数的解析式，而忽略定义域，是解决与三角函数有关问题的易错点，要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法，这在第一章中已经详细介绍，此处不再赘述．A D A D A 课时作业学案
