第二章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( D )
A．－＝ B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.
2．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( B )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
[解析] ＝λ＋－λ，所以－＝λ(－)，＝λ，由λ∈(1,2)可知，A，B，M三点共线，且B在线段AM上．
3．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( D )
A．a＝b B．a·b＝1
C．a＝－b D．|a|＝|b|
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．
4．如图，a－b等于( C )
A．2e1－4e2 B．－4e1－2e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
[解析] a－b＝e1－3e2.
5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么＝( D )
A．＋ B．－－
C．－＋ D．－
[解析] ＝＝(－)．
6．(＋)·(－)等于( A )
A．0 B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2 D．λ1λ2
[解析] ∵＝a0.(a0为a的单位向量)．
∴原式即(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(a－b)＝0.
7．已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．
由条件知＝(2,1)，＝(5,5)，·＝10＋5＝15.
||＝＝5，则在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝，故选A．
8．已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线应满足的条件是( D )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[解析] A，B，C三点共线即存在实数k，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k,1＝kμ，得λμ＝1.
9．设a、b是两个非零向量( C )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．(山东高考)已知非零向量m、n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( B )
A．4 B．－4
C． D．－
[解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，则tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B．
11．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则(＋)·的最小值是( D )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
[解析] 由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．
∵0≤t≤2，
∴当t＝1时，(＋)·取得最小值－2，故选D．
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( B )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
[解析] 根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不相等，所以B错误；对任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确．故选B．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝____.
[解析] 由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
14．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.
[解析] 由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，＝a，＝b，∵a＋b＋c＝0，∴＝c，＝a－b.
∵(a－b)⊥c，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形．
∴|a|＝|b|＝1，|c|＝，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
15．若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,2)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取__－4,2,1__(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)．
[解析] 由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0得
?k1＝－4k3，k2＝2k3，
令k3＝c(c≠0)，则k1＝－4c，k2＝2c.
16．(2017·天津理科)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为____.
[解析] 由题意，知||＝3，||＝2，
·＝3×2×cos60°＝3，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴·＝(＋)·(λ－)＝·－2＋2
＝×3－×32＋×22
＝λ－5＝－4，解得λ＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．
(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；
(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．
[解析] (1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向．
a·b＝x＋2>0，∴x>－2，
当x＝时，a、b同向．
∴x>－2且x≠.
(2)a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)
(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0
即－2x2＋3x＋14＝0
解得：x＝或x＝－2.
18．(本题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
[解析] (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x ①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20 ②
由①②联立，
解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
所以cosθ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
19．(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．
(1)求t的值；
(2)已知a与b成45°角，求证：b与a＋tb(t∈R)垂直．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，则|a＋tb|2＝|a|2＋t2|b|2＋2ta·b＝|a|2＋t2·|b|2＋2|a|·|b|·t·cosθ＝|b|2(t＋cosθ)2＋|a|2(1－cos2θ)．
∴当t＝－cosθ时，|a＋tb|取最小值|a|sinθ.
(2)∵a与b的夹角为45°，∴cosθ＝，从而t＝－·，b·(a＋tb)＝a·b＋t·|b|2＝|a|·|b|·－··|b|2＝0，所以b与a＋tb(t∈R)垂直，即原结论成立．
20．(本题满分12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈[，]，求·的取值范围．
[解析] (1)证明：∵·＝·，
∴·(－)＝0.
又＋＋＝0则＝－(＋)，
∴－(＋)·(－)＝0.
∴2－2＝0，
∴||2＝||2.
∴||＝||，即△ABC为等腰三角形．
(2)∵B∈[，]，∴cosB∈[－，]．
设||＝||＝a.
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，则有a2＋a2＋2a2cosB＝4.
∴a2＝，则·＝a2cosB＝＝2－.
又cosB∈[－，]，
∴·∈[－2，]．
21．(本题满分12分)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵b＋c＝(sinx－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－.
又x∈[－，]，
∴x＝－.
(2)∵a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sinx)－2＝2sinx＋2.
又x∈R，
∴当sinx＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0.
(3)∵a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5.
由sinx∈[－1,1]，
∴－5≤(sinx＋1)2－5≤－1，得k∈[－5，－1]．
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
22．(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|(k>0，k∈R)．
(1)求a·b关于k的解析式f(k)；
(2)若a∥b，求实数k的值；
(3)求向量a与b夹角的最大值．
[解析] (1)由已知|ka＋b|＝|a－kb|，
有|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
又因为|a|＝|b|＝1，
得8ka·b＝2k2＋2，
所以a·b＝，
即f(k)＝(k>0)．
(2)因为a∥b，k>0，
所以a·b＝>0，
则a与b同向．
因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，
即＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
所以k＝2±，
所以当k＝2±时，a∥b.
(3)设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝a·b＝＝(k＋)＝[(－)2＋2]．
当＝，即k＝1时，
cosθ取最小值，此时θ取大值.
课件31张PPT。第二章平面向量章末整合提升知 识 结 构专 题 探 究1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫做向量的线性运算．
2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．
3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．
4．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．专题一 ?平面向量的线性运算典例 1 『规律总结』 解决与平面几何相关问题时，注意点在直线上转化为向量共线；三角形中用三角形法则、平行四边形中用平行四边形法则等解题策略的运用很重要．专题二 ?平面向量的数量积向量的数量积是一个数量，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0.
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．典例 2
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合思想方法的具体体现．
3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．专题三 ?向量的坐标运算典例 3 『规律总结』 1.解决向量问题时，把题中向量用坐标形式表示出来，运用坐标运算方法来解决是一种重要途径．
2．在解决与向量有关的最值问题时，常常利用坐标运算建立目标函数求解．1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．
2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．
3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．专题四 ?平面向量的应用 已知△ABC中，∠ACB是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证AD⊥CE.典例 4 『规律总结』 1.借助平面直角坐标系将平面几何问题转化为向量问题解决，是解决平面几何问题的一种重要方法．
2．建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上．一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．单位向量都相等 B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若|a|≠|b|，则a≠b
[解析] A错，单位向量的模都相等，方向不一定相同．
B错，a与b互为相反向量时，a≠b但|a|＝|b|.
C错，|a|＝|b|时a与b的方向不一定相同或相反．
D对，模相等且方向相同的向量相等，|a|≠|b|，故a≠b.DC C 5 5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于______.
