第三章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于( D )
A．－3 B．－
C．3 D．
[解析] tan(α－β)＝＝＝.
2．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是( A )
A． B．
C． D．1＋
[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝.
3．(2018·全国卷Ⅲ文，4)若sinα＝，则cos2α＝( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] ∵ sinα＝，∴ cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
故选B．
4．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则||的最大值是( B )
A． B．2
C．4 D．
[解析] ＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，
则||＝
＝，故||的最大值为2.
5.＝( B )
A． B．－
C．－1 D．1
[解析] 原式＝＝＝－.
6．已知sin(π－θ)＝，则cos(＋2θ)＝( A )
A．－ B．－
C．－ D．
[解析] 由sin(－θ)＝cos[－(－θ)]
＝cos(＋θ)＝.
所以cos(＋2θ)＝2cos2(＋θ)－1＝－1＝－.
7．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log()2等于( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得
，∴，
∴＝5，
∴log()2＝log52＝4.
8．若＝，则tan2α＝( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由＝得＝即2tanα＋2＝tanα－1，
∴tanα＝－3，∴tan2α＝＝＝＝，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．
9．y＝sin(2x－)－sin2x的一个单调递增区间是( B )
A．[－，] B．[，π]
C．[π，π] D．[，]
[解析] y＝sin(2x－)－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－(sin2xcos＋cos2xsin)＝－sin(2x＋)，其增区间是函数y＝sin(2x＋)的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈[，]．
10．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( D )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
[解析] 由已知tanA＋tanB＝，tanA·tanB＝，tan(A＋B)＝－tanC＝＝＝，所以tanC＝－<0.故△ABC为钝角三角形．
11．将函数f(x)＝sin2xsin＋cos2xcos－sin(＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为( C )
A．，－ B．，－
C．，－ D．，
[解析] f(x)＝×sin2x＋cos2x－sin＝sin2x＋cos2x－＝sin2x＋×－＝sin(2x＋)，
所以g(x)＝sin(4x＋)．因为x∈[0，]，所以4x＋∈[，]，所以当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值；当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－.
12．已知A、B、C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2(－)＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是( D )
A．m<1 B．m>－3
C．m<3 D．m>1
[解析] f(B)＝4sinBcos2(－)＋cos2B
＝4sinB＋cos2B
＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)
＝2sinB＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sinB－1恒成立．
∵0
∴－1<2sinB－1≤1，故m>1.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．化简·＝____.
[解析] 原式＝tan(90°－2α)·＝·tan2α＝.
14．已知α∈(，π)，且sinα＝，则sin2＋的值为__－__.
[解析] cosα＝－，原式＝＋＝＋sin2α＝－.
15．若函数f(x)＝sin2x＋cos2x，且函数y＝f(x＋)(0<φ<π)是一个偶函数，则φ的值等于____.
[解析] f(x)＝sin(2x＋)，f(x＋)＝sin(2x＋φ＋)是一个偶函数，所以可以令φ＋＝，此时f(x＋)＝cos2x为偶函数，解得φ＝.
16．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为__π__.
[解析] ∵tanB＝2，tanC＝3，
∴tan(B＋C)＝＝＝－1.
又B、C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π)，
∴B＋C＝π，又tanA＝1，A为锐角，∴A＝，
∴A＋B＋C＝π.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[解析] (1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．
∴f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1
＝sin(2x－)－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)或(kπ，kπ＋]k∈Z.
18．(本题满分12分)已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值．
[解析] 因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝.
又α∈(π，)，故sinα＋cosα＝－
＝－，
所以＝
＝＝＝－.
19．(本题满分12分)已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若＝－3，求tanC．
[解析] (1)∵m·n＝1，
∴sinA－cosA＝1,2(sinA－cosA)＝1，
sin(A－)＝，
∵0∴A－＝.∴A＝.
(2)由题知＝－3，
∴＝－3
∴＝－3，
∴＝－3，∴tanB＝2.
∴tanC＝tan[π－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)＝－＝.
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．
[解析] (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}．
f(x)的最小正周期为.
(2)由f()＝2cos2α，得tan(α＋)＝2cos2α，
即＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
∵α∈，∴sinα＋cosα≠0.
∴(cosα－sinα)2＝，即1－sin2α＝，
∴sin2α＝，由α∈，得2α∈.
∴2α＝，即α＝.
21．(本题满分12分)(天津理，16)已知函数f(x)＝4tanx
sin(－x)cos(x－)－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．
[解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tanxcosxcos(x－)－
＝4sinxcos(x－)－
＝4sinx(cosx＋sinx)－
＝2sinxcosx＋2sin2x－
＝sin2x＋(1－cos2x)－
＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝[－，]，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝[－，]．
所以，当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－]上单调递减．
22．(本题满分12分)如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B(－，)，∠AOB＝α.
(1)求的值；
(2)设∠AOP＝θ(≤θ≤π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，f(θ)＝(·－1)2＋S－1，求f(θ)的最值及此时θ的值．
[解析] (1)依题意，tanα＝＝－2，
∴＝＝＝－10.
(2)由已知点P的坐标为P(cosθ，sinθ)，
又＝＋，||＝||，
∴四边形OAQP为菱形，∴S＝2S△OAP＝sinθ，
∵A(1,0)，P(cosθ，sinθ)，
∴＝(1＋cosθ，sinθ)，
∴·＝1＋cosθ，
∴f(θ)＝(1＋cosθ－1)2＋sinθ－1
＝cos2θ＋sinθ－1＝－sin2θ＋sinθ，
∵≤sinθ≤1，
∴当sinθ＝，即θ＝时，f(θ)max＝；
当sinθ＝1，即θ＝时，f(θ)min＝－1.
课件34张PPT。第三章三角恒等变换章末整合提升知 识 结 构专 题 探 究三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．专题一 ?三角函数的求值典例 1 三角函数式的化简，主要有以下几类：(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简．专题二 ?三角函数式的化简典例 2 三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．专题三 ?三角恒等式的证明典例 3 与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：
(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．专题四 ?三角恒等变形的综合应用典例 4 『规律总结』 1.条件求值时，注意把已知条件和待求式先进行适当变形再求值．
2．求三角函数型复合函数值域问题时，常常化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k形式或y＝A(sinx)2＋B(sinx)＋C形式后再求更好．三角式的恒等变换是解三角函数问题的基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．专题五 ?转化与化归的思想典例 5
B C A