第一章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知α＝315°，则与角α终边相同的角的集合是( A )
A．{α|α＝2kπ－，k∈Z} B．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
C．{α|α＝2kπ－，k∈Z} D．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
2．设α是第三象限角，且|cos|＝－cos，则的终边所在的象限是( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
所以的终边在第二象限或第四象限．
又|cos|＝－cos，所以cos<0，
所以的终边所在的象限是第二象限．
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C )
A．2 B．sin2
C． D．2sin1
[解析] 由题设，圆弧的半径r＝，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝.
4．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝( D )
A． B．
C．－ D．－
[解析] x<0，r＝，∴cosα＝＝x，
∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－.
5．如果＝－5，那么tanα的值为( D )
A．－2 B．2
C． D．－
[解析] ∵sinα－2cosα＝－5(3sinα＋5cosα)，
∴16sinα＝－23cosα，∴tanα＝－.
6．设α为第二象限角，则·＝( D )
A．1 B．tan2α
C．－tan2α D．－1
[解析] ·＝·＝·，
又∵α为第二象限角，∴cosα<0，sinα>0.
∴原式＝·＝·＝－1.
7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( D )
[解析] 本题用排除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝应小于2π，与图中T>2π矛盾．
8．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，
x2＝2.则sinα＝－，
原式＝＝－＝.
9．已知ω>0，|φ|<，若x＝和x＝是函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的两条相邻的对称轴，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是( B )
A．y＝g(x)是奇函数
B．y＝g(x)的图象关于点(－，0)对称
C．y＝g(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝g(x)的周期为π
[解析] ∵x＝和x＝π是两条相邻的对称轴，
∴T＝2×(π－)＝2π，∴ω＝1.
∴f(x)＝cos(x＋φ)．
①若函数在x＝处取得最大值，则f()＝cos(＋φ)＝1，＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－.当k＝0时，φ＝－，此时f(x)＝cos(x－)，将f(x)图象向左平移个单位得到g(x)＝cos[(x＋－)]＝cosx.所以B正确．
②若函数在x＝处取得最小值，则
f()＝cos(＋φ)＝－1，
＋φ＝2kπ－π，
φ＝2kπ－π，当k＝1时，φ＝π，
∵|φ|<，∴φ不存在．
10．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是( D )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析] 因为y＝sin(2x＋)＝cos(2x＋－)＝cos(2x＋)，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋)．
11．(2018·天津理，6)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( A )
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
[解析] 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断选项A正确．
故选A．
12．函数f(x)＝()x－|sin2x|在[0，]上零点的个数为( C )
A．2 B．4
C．5 D．6
[解析] 分别作出函数y＝()x和y＝|sin2x|的图象，如图所示．
由图可知，这两个函数图象在[0，π]上共有5个不同的交点，所以函数f(x)＝()x－|sin2x|在[0，π]上的零点个数为5.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝sinx＋tanx，x∈[－，]的值域为__[－－1，＋1]__.
[解析] 利用函数单调性求最值，确定函数值域．本题中，y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间[－，]上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也满足在区间[－，]上单调递增，∴此函数在[－，]上的值域为[－－1，＋1]．
14．已知sinθcosθ＝，且<θ<，则cosθ－sinθ的值为__－__.
[解析] 因为<θ<，所以cosθ－sinθ<0，所以cosθ－sinθ＝－＝－＝－＝－.
15．设a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数f(x)＝cos2x＋2asinx－1的最大值为__2a－1__.
[解析] f(x)＝cos2x＋2asinx－1＝1－sin2x＋2asinx－1＝－(sinx－a)2＋a2，
∵0≤x≤2π，∴－1≤sinx≤1，
又a>1，∴当sinx＝1时，f(x)max＝－(1－a)2＋a2＝2a－1.
16．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2 018)＝____.
[解析] 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.
由点(1,1)在函数图象上，可得f(1)＝sin(＋φ)＝1，故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝sin(x＋)，所以f(2 018)＝sin(＋)＝sin(504π＋π)＝sinπ＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3﹕4，求2sinα＋cosα的值．
[解析] (1)∵r＝＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－.
(2)∵r＝＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－；
当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝＝，cosα＝－，
∴2sinα＋cosα＝.
(3)当点P在第一象限时，sinα＝，cosα＝，
2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝，
cosα＝－，2sinα＋cosα＝；当点P在第三象限时，sinα＝－，cosα＝－，2sinα＋cosα＝－2；
当点P在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－.
18．(本题满分12分)已知函数y＝3tan(2x－)．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的定义域；
(3)说明此函数的图象是由y＝tanx的图象经过怎样的变换得到的？
[解析] (1)函数y＝3tan(2x－)的最小正周期T＝.
(2)由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以原函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
(3)把函数y＝tanx图象上所有的点向右平移个单位长度，得函数y＝tan(x－)的图象，然后将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得函数y＝3tan(2x－)的图象．
19．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a为常数)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．
[解析] (1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1.
(3)当sin(2x＋)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
20．(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－)．
(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋)
因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为(－，0)．
21．(本题满分12分)如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
[解析] (1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin(θ－)；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin(t－)＋5.6，t∈[0，＋∞)．
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－(－)＝2π，
由T＝，得ω＝1，又，
解得，令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
解得φ＝－，∴f(x)＝2sin(x－)＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期为，又k>0，∴k＝3，令t＝3x－，
∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，
如图，sint＝s在[－，]上有两个不同的解，则s∈[，1]，
∴方程 f(kx)＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3]，即实数m的取值范围是[＋1,3]．
课件48张PPT。第一章三角函数章末整合提升知 识 结 构专 题 探 究三角函数的定义及诱导公式在中学数学的学习中主要有两方面的作用：
一是以集合的交、并、补运算为载体，考查三角函数值在各象限内的符号、终边相同的角及象限角等基础知识．
二是考查诱导公式在三角函数求值、化简、证明和三角恒等变换中的应用．专题一 ?三角函数的概念和诱导公式典例 1 C
专题二 ?利用三角函数及关系化简、证明、计算典例 2
求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1)是y＝Asin(ωx＋φ)＋k类型的，应利用其图象与性质、数形结合求解．(2)是可化为以三角函数为元的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解．(3)利用几何意义求解等．专题三 ?三角函数的值域与最值问题典例 3
设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a、b的值．
[思路分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．典例 4 『规律总结』 一元二次函数区间最值问题含有参数时，应按照对称轴与区间的相对位置去讨论．专题四 ?正弦函数与余弦函数的对称性问题典例 5 『规律总结』 本例中给出求三角函数的对称轴与对称中心的两种方法，这都是解决三角问题的基本方法，要切实理解好．专题五 ?三角函数的图象及变换
3．由已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图象求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．典例 6 『规律总结』 本例中用平移的知识求得函数解析式，在求解中一定要注意ω对x的影响．专题六 ?数形结合思想数形结合思想是重要的数学思想，它能把抽象的思维方式转化为形象、直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．
在本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三角函数线画正(余)弦及正切函数的图象． 设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
[思路分析] 求f(x)的零点，可转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．典例 7 A [解析] 要求f(x)＝0，可以将f(x)的零点转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．如图，g(x)和h(x)在同一坐标系中的图象．由此可知，本题选A．『规律总结』 本题主要考查三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识，将函数零点问题转化为函数图象的交点问题，从而利用函数图象数形结合巧妙解决．专题七 ?函数与方程思想有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程(组)求解，还有些三角函数问题，可依据题设条件适当选取三角函数关系式，联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程思想在三角函数求值中的运用．典例 8 『规律总结』 注意诱导公式的化简作用，要灵活运用sin2α＋cos2α＝1求解．D A B 3 [－5，－π)∪(0，π)
