第一章 1.1 1.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各角中，与60°角终边相同的角是( A )
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
[解析] 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A．
2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( B )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
[解析] 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
∴120°＋(－270°)＝－150°，故选B．
3．下列说法正确的个数是( A )
①小于90°的角是锐角 ②钝角一定大于第一象限的角
③第二象限的角一定大于第一象限的角 ④始边与终边重合的角为0°
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①错，负角小于90°，但不是锐角，②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)，③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°，④错，始边与终边重合的角是k·360°(k∈Z)，故选A .
4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( B )
A．k·360°＋β(k∈Z)
B．k·360°－β(k∈Z)
C．k·180°＋β(k∈Z)
D．k·180°－β(k∈Z)
[解析] 因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°(k∈Z)，所以α＝k·360°－β(k∈Z)．故选B．
5．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( D )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
[解析] －1 485°＝315°－5×360°.
6．若α是第三象限角，则是( D )
A．第一或第三象限角 B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
[解析] ∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α∴k·180°＋90°<当k为偶数时，是第二象限角；
当k为奇数时，是第四象限角．
二、填空题
7．钟表经过4小时，时针与分针各转了__－120°，－1_440°__.(填度数)
8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝__k·360°＋60°，k∈Z__.
[解析] 先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°.
再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.
三、解答题
9．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
[解析] (1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．
令－1 910°－k·360°≥0，解得k≤－＝－5.
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
10．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C的关系是( B )
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A?C D．A＝B＝C
[解析] A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，故选B．
2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( C )
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
[解析] 由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.
∴k·180°<α3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是( D )
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
[解析] ∵α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，
β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，
∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．
4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( C )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
[解析] 令k分别取－1,0,1,2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C．
二、填空题
5．与－500°角的终边相同的最小正角是__220°__，最大负角是__－140°__。
[解析] 与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．
6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈__{α|n·180°＋30°<α[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
7．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
[解析] (1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420；
60°＋3×180°＝600°.
8．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α[解析] 如下图所示，A∩B中的角的始边和终边对应30°和45°角的终边，
∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<α9如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°.点P从点A处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转．已知点P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求θ，并判断其所在的象限．
[解析] 由题意有14θ＋45°＝k·360°＋45°(k∈Z)，θ＝(k∈Z)．
又180°<2θ＋45°<270°，
即67.5°<θ<112.5°，
∴67.5<<112.5°，且k∈Z.
∴k＝3或k＝4.
∴所求的θ值为θ＝或θ＝.
易知0°<<90°，90°<<180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
课件55张PPT。第一章三角函数到过海边的人都知道，海水有涨潮和落潮现象，涨潮时，海水上涨，波浪滚滚，景色十分壮观；退潮时，海水悄然退去，露出一片海滩．在我国，有闻名中外的钱塘江涨潮，当潮流涌来时，潮端陡立，水花四溅，像一道高速推进的直立水墙，形成“滔天浊浪排空来，翻江倒海山为摧”的壮观景象．科学地讲，潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动，是海洋中常见的自然现象之一．实际上，现实中的许多运动变化都有着循环反复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．在唐代诗人王湾的《次北固山下》中有这样的诗句：“客路青山外，行舟绿水前．潮平两岸阔，风正一帆悬 .海日生残夜，江春入旧年．”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期性变化规律．如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢？本章将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型．通过本章的学习，我们将知道：三角函数是怎样的一种函数？具有哪些特有的性质？在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些重要作用？1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角自主预习学案
1．任意角的概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．端点 (2)角的表示
如图所示：
①始边：射线的起始位置OA．
②终边：射线的终止位置OB．
③顶点：射线的端点O.
④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．(3)角的分类逆时针 顺时针 任何旋转 [知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．
(2)当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常叫做转角．如图所示．
(3)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
2．象限角与轴线角
使角的顶点与________重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的________(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几__________，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与__________重合．
如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称为轴线角(象限界角)．原点 x 终边 象限角 坐标轴
[知识点拨]锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？小于90°的角与它们有什么联系？
(1)由锐角的范围知锐角是第一象限角．
(2)第一象限的角不一定是锐角，满足{α|k·360°<α(3)小于90°的角包含锐角，但它还包括零角和负角，也不一定是第一象限的角．
3．终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_____________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．α＋k·360° [知识点拨]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍，终边不同则表示的角一定不同．[拓展]象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：(2)轴线角：1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)第一象限的角都是锐角．( )
(2)终边相同的角一定相等．( )
(3)第四象限角可以是负角．( )
(4)三角形的内角必是第一、二象限的角．( )
(5)－435°是第三象限角．( )××√××2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )
A．120° B．－120°
C．60° D．240°
3．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是( )
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
[解析] －1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．AD
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是____________.
[解析] 因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.690° 互动探究学案 如图(1)(2)，射线OA绕端点O旋转到OB，OB1，OB2位置所成的角α＝____________，β＝______________，γ＝__________.命题方向1 ?任意角390° 典例 1 －150° 60°
[思路分析] 1.明确角的始边与终边．
2．明确逆时针还是顺时针．
[解析] 图(1)中，OA旋转到OB所成的角是一个正角，α＝360°＋30°＝390°.
图(2)中，OA旋转到OB1，OB2所成的角分别是一个负角和一个正角，β＝－(360°－210°)＝－150°，γ＝210°－150°＝60°.〔跟踪练习1〕如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝____________.
[解析] 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°.－75° 已知角α＝2 020°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
[思路分析] 先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.命题方向2 ?终边相同的角典例 2 『规律总结』 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．〔跟踪练习2〕若将例题中“角α＝2 020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？ 写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
[思路分析] 首先确定0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集合，最后写出两个集合的并集即可。命题方向3 ?终边在某条直线上的角的集合典例 3 [解析] (1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(3)由教材例题知终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合(2)知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．『规律总结』 求解终边在某条直线上的角的集合的思路
(1)若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(2)若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．〔跟踪练习3〕若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在第几象限( )
A．第一或第三 B．第二或第三
C．第二或第四 D．第三或第四
[解析] 分k为奇数，偶数讨论角α的终边所在象限．A 若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为_____________________________________________.
[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影范围内的角是60°≤α≤150°，故满足条件的角的集合为{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．命题方向4 ?区域角的表示典例 4 {α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z} 『规律总结』 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．〔跟踪练习4〕写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析] (1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．分角、倍角所在角限的判断 典例 5 [解析] ∵α是第一象限角，
∴k·360°<α(1)－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，
故－α是第四象限角．
(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，
故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的非负半轴．
B 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合．对任意角的概念不清导致角的范围写错 典例 6 [错解] 错解一：终边为OA的角为k·360°＋30°(k∈Z)，终边为OB的角为k·360°＋150°(k∈Z)，
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°＋30°<α错解二：终边为OA的角为k·360°＋30°(k∈Z)，终边为OB的角为k·360°＋150°，(k∈Z)，
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°＋150°<α以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何订正？怎么防范？[错因分析] 错解一考虑了角的大小，但表示的是终边落在阴影部分以外的角；错解二没有注意到角的大小，写出的集合是空集．
[正解] 因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
[误区警示]1.用不等式表示区域角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．
2．对于区域角的书写，一定要看其区域是否跨越x轴的正方向．〔跟踪练习6〕若角α的终边在如图所示的阴影部分中，试写出其集合．
[解析] 以OA为终边的角为75°＋k·360°(k∈Z)，以OB边终边的角为k·360°－30°(k∈Z)．因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|k·360°－30°<αA．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
[解析] －457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．C 2．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
3．下列各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°BB4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}C5．若角α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
[解析] 角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．D课时作业学案
