第一章 1.1 1.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式正确的是( B )
A．＝90 B．＝10°
C．3°＝ D．38°＝
2．2 145°转化为弧度数为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 2 145°＝2 015× rad＝π rad.
3．下列各式不正确的是( C )
A．－210°＝－ B．405°＝
C．335°＝ D．705°＝
4．在(0,2π)内，终边与－1 035°相同的角是( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵－1 035°＝45°－3×360°.
∴45°角的终边与－1 035°角的终边相同．
又45°＝，故在(0,2π)内与－1 035°角终边相同的角是.
5．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( D )
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
[解析] ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
又2π rad＝360°，315°＝π rad.
故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.
6．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( B )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
[解析] α＝＝＝α，故圆心角不变．
二、填空题
7．扇形AOB，半径为2 cm，|AB|＝2 cm，则所对的圆心角弧度数为____.
[解析] ∵|AO|＝|OB|＝2，|AB|＝2，∴∠AOB＝90°＝.
8．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝__47_m__.(精确到1 m)．
[解析] 根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．
三、解答题
9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
[解析] 设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．
10．(1)把310°化成弧度；
(2)把 rad化成角度；
(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．
[解析] (1)310°＝ rad×310＝ rad.
(2) rad＝°＝75°.
(3)解法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝.
显然<<1<.故α<β< γ<θ＝φ.
解法二(化为角度)：
β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝×()°＝105°.
显然，15°<18°<57.30°<105°.
故α<β<γ<θ＝φ.
B级 素养提升
一、选择题
1．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( A )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
[解析] 设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A．
2．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( D )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
[解析] ∵＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．
当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．
3．下列表述中不正确的是( D )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}
C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}
D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}
[解析] 终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．
4．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( D )
A．(2－sin1cos1)R2 B．R2sin1cos1
C．R2 D．R2－R2sin1cos1
[解析] 设弧长为l，则l＋2R＝4R，∴l＝2R，∴S扇形＝lR＝R2.∵圆心角|α|＝＝2，∴S三角形＝·2R·sin1·Rcos1＝R2sin1·cos1，∴S弓形＝S扇形－S三角形＝R2－R2sin1cos1.
二、填空题
5．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__第一或第二象限__.
[解析] 当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，
∴θ的终边在第一或第二象限．
6．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是____dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是____dm2.
[解析] 所在的圆的半径是2，所对圆心角为，
所在的圆的半径是1，所对圆心角为，
所在的圆的半径是，所对圆心角是.
点A走过的路程是3段圆弧长之和，即：
＋＋＝(dm)；
3段弧所对应的扇形总面积为：
＋＋＝(dm2)．
三、解答题
7．已知直径为10 cm的滑轮上有一条长为6 cm的弦，C是此弦的中点，若滑轮以5 rad/s的角速度转动，则经过5 s后，点C转过的弧长是多少？
[解析] 如图所示，在圆O中，弦AB＝6，C是AB的中点，AC＝3.
∵OC⊥AB，∴OC＝＝4.
滑轮5 s转过的弧度数α＝5×5＝25(rad)，点C转过的弧长l＝α·|OC|＝25×4＝100(cm)．
8．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
[解析] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．
9．如图所示，点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转，求P，Q第一次相遇时所用的时间及点P，Q各自走过的弧长．
[解析] 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，故第一次相遇时所用的时间是4秒．
第一次相遇时，点P运动到角×4＝π的终边所在位置，点Q运动到角－×4＝－π的终边所在位置，
故点P走过的弧长为π×4＝π，点Q走过的弧长为|－π|×4＝π.
课件51张PPT。第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制自主预习学案炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．
弧度 半径长 [知识点拨] 一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)记法：弧度单位用符号__________表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．
2．弧度数
一般地，正角的弧度数是一个______数，负角的弧度数是一个______数，零角的弧度数是______.
如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝______.rad 正 负 0 一一对应 实数 角 [知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.[知识点拨] 弧长公式及扇形面积公式的两种表示方法对比1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)用弧度制表示角时，都是正角．( )
(2)在大小不等的圆中，1弧度的圆心角所对弧的长度是不同的．( )
(3)用角度制和弧度制表示角时，单位都可以省略不写．( )
(4)π弧度的角大于π°的角．( )
(5)扇形的半径为5，圆心角是60°，则弧长为300.( )×√×√×B 4
4．α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．C互动探究学案命题方向1 ?有关“角度”与“弧度”概念的理解①③④ 典例 1
[思路分析] 从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．『规律总结』 弧度与角度的概念的区别与联系
D 命题方向2 ?角度制与弧度制的转化典例 2
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．命题方向3 ?用弧度制表示区域角典例 3 [思路分析] ①用弧度表示区域角时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．②在表示角的集合时，可以先写出如－π～π，0～2π范围内的角，再加上2kπ，注明k∈Z.③终边在同一条直线上的角的集合可以直接根据知识点4中的结论得出．
〔跟踪练习3〕用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．求扇形面积最值的函数思想 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[思路分析] 正确使用扇形弧长公式及面积公式．典例 4 『规律总结』 1.运用扇形弧长及面积公式时应注意的问题．
(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r，l，S中“知二求二”的问题，其实质上是方程思想的运用．
(2)运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多．若角是以“度”为单位的，则必须先将其化成弧度，再计算．
D C 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[错解一] {α|k·360°＋330°<α[错解二] {α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z}．角度和弧度混用致错 典例 5 [错因分析] 错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．
[误区警示]同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．C 1．在不等圆中1 rad的圆心角所对的是( )
A．弦长相等 B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径
[解析] 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D．DB C C 5．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为__________平方步．120 课时作业学案
