第一章 1.2 1.2.1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则tanα的值是( D )
A．－2 B．2
C．1 D．不存在
[解析] ∵点A(0,2)，在y轴正半轴上，
∴tanα不存在，故选D．
2．已知sinα＝，cosα＝－，则角α所在的象限是( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由sinα＝>0得角α的终边在第一或第二象限；由cosα＝－<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
3．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由于sinα<0，则α的终边在第三或四象限，又tanα>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．
4．若角α的终边过点(－3，－2)，则( C )
A．sinαtanα>0 B．cosαtanα>0
C．sinαcosα>0 D．sinαcosα<0
[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，
∴sinαcosα>0，故选C．
5．sin585°的值为( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°.
由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为(－，－)，所以sin225°＝－.
6．若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为( B )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
[解析] ∵sinαcosβ<0，∴cosβ<0，∴β是钝角，故选B．
二、填空题
7．sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝__－4__.
[解析] 原式＝1＋2＋3－10＝－4.
8．函数y＝tan(x－)的定义域是__{x|x≠kπ＋π，k∈Z}__.
[解析] x－≠kπ＋(k∈Z)，即x≠kπ＋π(k∈Z)．
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)cos(－)＋sin·tan6π；
(2)sin420°cos750°＋sin(－330°)cos(－660°)．
[解析] (1)原式＝cos(－2π＋)＋sin·tan0
＝cos＋0＝.
(2)原式＝sin(360°＋60°)·cos(720°＋30°)＋sin(－360°＋30°)·cos(－720°＋60°)
＝sin60°·cos30°＋sin30°·cos60°
＝×＋×＝＋＝1.
10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．
[解析] 设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sinα＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sinα＋＝10×(－)＋3
＝－3＋3＝0；
当k<0时，r＝－k，α为第二象限角，
sinα＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sinα＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上，10sinα＋＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知点P(tanα，sinα)在第三象限，则角α的终边在( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由点P(tanα，sinα)在第三象限，
可得∴角α的终边在第四象限．
2．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( C )
A．sin B．cos
C．tan D．cos2α
[解析] 由α为第四象限角，得2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋<
当k＝2n(n∈Z)时，∈(2nπ＋，2nπ＋π)，
当此，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈(2nπ＋，2nπ＋2π)，此时，是第四象限角．
3．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( D )
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
[解析] 函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为{x|x≠0且x≠kπ＋，k∈Z}，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D．
4．α是第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且cosα＝－，则sinα的值为( A )
A． B．
C． D．－
[解析] ∵|OP|＝，∴cosα＝＝－
又因为α是第二象限角，∴y>0，得y＝，
∴sinα＝＝，故选A．
二、填空题
5．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为____.
[解析] ∵sin(2kπ＋α)＝－，∴sinα＝－.
又角α的终边过点P(3，－4t)，
故sinα＝＝－，解得t＝.
6．已知角α的终边在直线y＝x上，则sinα＋cosα的值为__±__.
[解析] 在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sinα＋cosα＝＋＝＋＝，
当x<0时，r＝＝－x，
sinα＋cosα＝＋＝－－＝－.
三、解答题
7．已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sinθ＝m，求cosθ与tanθ的值．
[解析] 由题意可知＝，
∴m＝0或或－.
(1)当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
(2)当m＝时，cosθ＝－，tanθ＝－；
(3)当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝.
8．已知＝－，且lgcosα有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．
[解析] (1)由＝－，
可知sinα<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lgcosα有意义可知cosα>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sinα＝＝＝＝－.
课件49张PPT。第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第1课时 三角函数的定义自主预习学案
1．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以____________为半径的圆为单位圆．单位长度 y x
[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示R R 2.三角函数值的符号
sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：
[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)
sin(α＋2kπ)＝____________，
cos(α＋2kπ)＝____________，
tan(α＋2kπ)＝____________.
[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．sinα cosα tanα × √ √ × × B 3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有( )
A．m>0 B．m＝0
C．m<0 D．m的符号不确定
[解析] sinα<0，cosα<0，则m＝sinα·cosα>0.
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于______.A互动探究学案命题方向1 ?利用三角函数的定义求三角函数值典例 1 [思路分析] (1)先求出x的值，再计算；(2)利用三角函数的定义的推广求解；(3)先在终边上取点，再利用定义求解．
〔跟踪练习1〕已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．命题方向2 ?三角函数在各象限内符号的应用典例 2 D [思路分析] 先确定角所在象限，进而确定各式的符号．『规律总结』 (1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．C 命题方向3 ?诱导公式(一)的应用典例 3 『规律总结』 利用诱导公式(一)求三角函数值：
(1)解此类问题的方法是先借助于终边相同的角的诱导公式把已知角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值．在问题的解答过程中，重在体现数学上的化归(转化)思想．
(2)要熟记特殊角的三角函数值，这是解题的基础．分类讨论思想在化简三角函数式中的应用 典例 4 『规律总结』 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．〔跟踪练习4〕若sinθcosθ>0，则θ的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限B 已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sinα＝_________.三角函数定义理解中的误区 典例 5 〔跟踪练习5〕已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．B 2．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[解析] ∵A、B、C是△ABC的内角，∴sinA>0.
∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.
∴cosB和tanC中必有一个小于0.
即B、C中必有一个钝角，选C．CA 4．若sinα>0，tanα<0，则α为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上；由tanα<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．B课时作业学案第一章 1.2 1.2.1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式正确的是( B )
A．sin1>sin B．sin1C．sin1＝sin D．sin1≥sin
[解析] 1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，则sin12．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是( A )
A．[－π，] B．[－，]
C．[－π，π] D．[0，π]
[解析] 当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sinx≤cosx.
3．若MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( D )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
[解析] 作出单位圆中的正弦线、余弦线，比较知D正确．
4．如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，过点A作单位圆的切线AT交OP的反向延长线至点T，则有( D )
A．sinα＝OM，cosα＝PM
B．sinα＝MP，tanα＝OT
C．cosα＝OM，tanα＝AT
D．sinα＝MP，tanα＝AT
5．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是( B )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
[解析] 如图易知选B．
6．若tanx＝，且－πA．{，} B．{，}
C．{，，－} D．{，，－}
[解析] ∵tanx＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，
∴x＝kπ＋，k∈Z，又因为－π所以x＝－，，.
二、填空题
7．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为__1__.
[解析] 由余弦线长度为0知，角的终边在y轴上，所以正弦线长度为1.
8．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sinα的值为__－__.
[解析] 由题意知|sinα|＝，且方向与y轴正方向相反，∴sinα＝－.
三、解答题
9．在单位圆中画出满足cosα＝的角α的终边，并写出α组成的集合．
[解析] 如图所示，作直线x＝交单位圆于M、N，连接OM、ON，则OM、ON为α的终边．由于cos＝，cos＝，则M在的终边上，N在的终边上，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.
所以α组成的集合为S＝{α|α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}．
10．解不等式组
[解析] 由得
在直角坐标系中作单位圆，如图所示，
由三角函数线可得
解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知的正弦线为MP，正切线为AT，则有( A )
A．MP与AT的方向相同 B．|MP|＝|AT|
C．MP>0，AT<0 D．MP<0，AT>0
[解析] 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP＝sin<0，AT＝tan<0.
2．已知α角的正弦线与y轴正方向相同，余弦线与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则( A )
A．sinα＋cosα＝0 B．sinα－cosα＝0
C．tanα＝0 D．sinα＝tanα
[解析] ∵sinα>0，cosα<0，
且|sinα|＝|cosα|，∴sinα＋coα＝0.
3．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( D )
A．若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B．若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ
C．若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D．若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
[解析] 如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时OM如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，MP>NQ，
∴AC如图(3)，角α、β的终边分别为OP、OQ，MP>NQ即sinα>sinβ，∴ON>OM，即cosβ>cosα，故C错，∴选D．
4．y＝的定义域为( B )
A．
B．
C．
D．(以上k∈Z)
[解析] ∵，∴2kπ二、填空题
5．不等式cosx>0的解集是__{x|2kπ－[解析] 如图所示，OM是角x的余弦线，则有cosx＝OM>0，
∴OM的方向向右．
∴角x的终边在y轴的右方．
∴2kπ－6．已知点P(tanα，sinα－cosα)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是__∪__.
[解析] ∵点P在第一象限，
∴
由(1)知0<α<或π<α<，(3)
由(2)知sinα>cosα，
作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sinα>cosα的
α∈，(4)
由(3)、(4)得α∈∪.
三、解答题
7．求下列函数的定义域．
(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝.
[解析] (1)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义，
∴
∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0，
∴
∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}．
8．求函数f(x)＝＋ln(sinx－)的定义域．
[解析] 由题意，得自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，
所以{x|2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}．
课件38张PPT。第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第2课时 三角函数线 自主预习学案江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的时候，看到从水车上滴滴答答落下的水滴，同学们能想到些什么呢？
单位圆中的三角函数线
1．有向线段
一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们2．三角函数线的作法
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的________线、________线、________线，统称为三角函数线．MP OM AT 正弦 余弦 正切 [知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)三角函数线是有向线段，既有大小，又有方向．( )
(2)正弦线的起点一定在x轴上，余弦线的起点一定是原点，正切线的起点一定是(1,0)．( )
(3)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段，则其终边落在x轴的正半轴上．( )
(4)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线，长度相等、符号相同．( )√√×√2．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的( )
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是ATC3．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在DD 互动探究学案 利用三角函数线比较下列各组数的大小．
[思路分析] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一看三角函数的长度，二看正负．命题方向1 ?利用三角函数线比较大小典例 1 『规律总结』 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． 根据下列条件，求角α的取值集合：命题方向2 ?利用三角函数线求角的范围典例 2 『规律总结』 利用三角函数线求角的取值集合，关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a.(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在位置，此时根据方向即可确定相应的x的范围；对于tanx≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置，结合图形可得． 设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sinα<α[思路分析] sinα、tanα分别用正弦线、正切线表示出来，α用它所对的弧表示出来，从而使关系式得证．利用三角函数线证明几何结论 典例 3 『规律总结』 解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．忽视角的范围致误 典例 4 [误区警示] 当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时，应特别注意角的范围的表达形式，这时可以用一个区间来表示，也可用两个区间并集来表示．1．下列四个命题：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一直线上．其中不正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ②有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相等，所以②错，①③④均正确．B2．已知角α是第四象限角，则角α的正弦线MP是下图中的( )AD 课时作业学案