第一章 1.2 1.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知cosα＝，则sin2α等于( A )
A． B．±
C． D．±
[解析] sin2α＝1－cos2α＝.
2．α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] ∵α是第四象限角，∴sinα<0.
∵∴sinα＝－.
3．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，
∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－.
4．已知tanα＝－，则等于( A )
A． B．－
C．－7 D．7
[解析] ＝＝＝.
5．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 原式＝(1＋)·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
6．已知sinα－3cosα＝0，则sin2α＋sinαcosα值为( B )
A． B．
C．3 D．4
[解析] 由sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3，
又sin2α＋sinαcosα＝
＝＝＝.
二、填空题
7．在△ABC中，sinA＝，则∠A＝__60°__.
[解析] ∵2sin2A＝3cosA，∴2(1－cos2A)＝3cosA，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，∴cosA＝，cosA＝－2(舍去)，∴A＝60°.
8．已知tanα＝cosα，那么sinα＝____.
[解析] 由于tanα＝＝cosα，则sinα＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，解得sinα＝.
又sinα＝cos2α≥0，所以sinα＝.
三、解答题
9．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα(1＋)＝＋.
[证明] 左边＝sinα(1＋)＋cosα(1＋)
＝sinα＋＋cosα＋
＝＋＝＋＝右边．
即原等式成立．
10．已知tanα＝7，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α.
[解析] (1)＝＝＝＝.
(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝
＝＝
＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，那么这个三角形的形状为( B )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[解析] (sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－<0，
又∵α∈(0，π)，sinα>0.∴cosα<0，∴α为钝角．
2．若π<α<，＋的化简结果为( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] 原式＝＋
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
3．若＝2，则sinθ·cosθ＝( D )
A．－ B．
C．± D．
[解析] 由＝2，得tanθ＝4，sinθcosθ＝＝＝.
4．如果sinx＋cosx＝，且0A．－ B．－或－
C．－ D．或－
[解析] 将所给等式两边平方，得sinxcosx＝－，
∵00，cosx<0，
∴sinx＝，cosx＝－，∴tanx＝－.
二、填空题
5．已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝__－或－__.
[解析] 由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.
m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－；
m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，tanθ＝－.
6．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝____.
[解析] 因为tanA＝>0，则∠A是锐角，则sinA>0，解方程组得sinA＝.
三、解答题
7．化简下列式子．
(1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α；
(2)若x是第二象限角，化简·.
[解析] (1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2α·cos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1.
(2)原式＝·＝·＝·＝·.
∵x为第二象限角，∴sinx>0，∴原式＝＝1.
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sinθ和cosθ，θ∈(0，)．
(1)求＋的值；
(2)求实数m的值；
(3)求sinθ，cosθ及θ的值．
[解析] (1)由题意，得
所以＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.
(2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝，
将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，
所以sinθcosθ＝，由(1)，知＝，所以m＝.
(3)由(2)可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又θ∈(0，)，所以θ＝或.
课件59张PPT。第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系自主预习学案“物以类聚，人以群分”，之所以“分群”“分类”，是因为同类之间有很多共同点，彼此紧密地联系．
我们现在研究的三角函数，同角的正弦、余弦、正切之间有什么关系呢？同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：__________________
(2)商数关系：______________sin2α＋cos2α＝1. × × √ × × D D cos80° 互动探究学案命题方向1 ?根据同角三角函数关系求值典例 1
命题方向2 ?弦化切求值典例 2
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为cos2α的表达式求解．
命题方向3 ?三角代数式的化简典例 3 『规律总结』 三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．命题方向4 ?三角恒等式的证明典例 4
sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系：
(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．
(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用 典例 5 『规律总结』 在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，cosθ，使问题得解．忽略隐含条件致错 典例 6
[误区警示] 有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．B C C sinα 5．求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.
[解析] 证法一：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα＋2(cosα－sinα)＝1＋2(cosα－sinα)＋(cosα－sinα)2＝(1－sinα＋cosα)2＝右边．
所以原式成立．
证法二：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα.故左边＝右边．所以原式成立．
证法三：令1－sinα＝x，cosα＝y，则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
故左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．所以原式成立．课时作业学案
