第一章 1.3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( D )
A．1 B．2sin2α
C．0 D．2
2．下列各式不正确的是( B )
A．sin(α＋180°)＝－sinα
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sinα
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
3．cos(－)等于( C )
A． B．
C．－ D．－
[解析] cos(－)＝cos＝cos(6π＋)＝cos＝cos(π－)＝－cos＝－.
4．tan300°＝( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°)
＝－tan60°＝－.
5．sin600°＋tan240°的值是( B )
A．－ B．
C．－＋ D．＋
[解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝.
6．已知tan5°＝t，则tan(－365°)＝( C )
A．t B．360°＋t
C．－t D．与t无关
[解析] tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t.
二、填空题
7．sin750°＝____.
[解析] sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝.
8．已知α∈(0，)，tan(π－α)＝－，则sinα＝____.
[解析] 由于tan(π－α)＝－tanα＝－，则tanα＝，
解方程组
得sinα＝±，又α∈(0，)，所以sinα>0.
所以sinα＝.
三、解答题
9．已知＝lg，求＋的值．
[解析] ∵
＝
＝＝－sinα＝lg，
∴sinα＝－lg＝lg＝.
∴＋
＝＋
＝＋＝
＝＝18.
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β，a，b均为实数，若f(2 018)＝6，求f(2 019)的值．
[解析] ∵f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋
bcos(2 018π＋β)＋7＝asinα＋bcosβ＋7，
∴asinα＋bcosβ＋7＝6.
∴asinα＋bcosβ＝－1.
∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋7
＝asin[2 018π＋(π＋α)]＋bcos[2 018π＋(π＋β)]＋7
＝－asinα－bcosβ＋7
＝－(asinα＋bcosβ)＋7
＝－(－1)＋7＝8.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·沈阳铁路实验中学期末)已知tan(π－α)＝2，则＝( A )
A．3 B．2
C．－3 D．
[解析] tan(π－α)＝－tanα＝2，∴tanα＝－2.
＝＝＝3.
2．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为( A )
A． B．
C．－1 D．1
[解析] ∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m，
原式＝＝＝＝，
故选A．
3．若＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)等于( B )
A． B．
C．± D．－
[解析] 由＝2，得tanα＝3.
则sin(α－5π)·cos(3π－α)
＝－sin(5π－α)·cos(2π＋π－α)
＝－sin(π－α)·cos(π－α)
＝－sinα·(－cosα)
＝sinα·cosα
＝＝＝.
4．已知n为整数，化简所得结果是( C )
A．tan(nα) B．－tan(nα)
C．tanα D．－tanα
[解析] 若n＝2k(k∈Z)，则＝＝＝tanα；若n＝2k＋1(k∈Z)，则＝＝＝＝tanα.
二、填空题
5．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°＝__－1__.
[解析] ∵cos(π－θ)＝－cosθ，
∴cosθ＋cos(π－θ)＝0，
即cos1°＋cos179°＝cos2°＋cos178°＝…＝cos90°＝0.
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos180°＝－1.
6．若cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝__－__.
[解析] cos(－θ)＝cos[π－(＋θ)]
＝－cos(＋θ)＝－.
三、解答题
7．已知α是第四象限角，且
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若sinα＝－，求f(α)；
(3)若α＝－，求f(α)．
[解析] (1)f(α)＝＝cosα.
(2)∵sinα＝－，且α是第四象限角，
∴f(α)＝cosα＝＝＝.
(3)f(－)＝cos(－)
＝cos(－)＝cos＝.
8．证明：＝.
[证明] 左边＝
＝＝＝＝＝＝右边，
故原等式成立．
9．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解析] 由已知得
由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cosA＝±.
当cosA＝时，cosB＝.
又A，B是三角形的内角，∴A＝，B＝.
∴C＝π－(A＋B)＝π.
当cosA＝－时，cosB＝－.
又A，B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，A＋B>π，不符合题意．
综上可知，A＝，B＝，C＝π.
课件34张PPT。第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第1课时 诱导公式二、三、四 自主预习学案对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？
1．诱导公式二原点 －sinα －cosα tanα x轴 －sinα cosα y轴 sinα －cosα －tanα 特别提醒：1.公式一～四中的角α是任意角．
2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα.
3．诱导公式的作用
(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．
(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．
(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)三角函数诱导公式中的角α应为锐角．( )
(2)存在角α，使sin(π＋α)＝sinα，cos(π－α)＝cosα.( )
(3)当α是第三象限角时，tan(－α)＝tanα.( )
(4)tan(α－π)＝tanα.( )
(5)若α，β满足α＋β＝π，则sinα＝sinβ且tanα＝tanβ.( )×√×√×B C A 互动探究学案 求下列各三角函数值：命题方向1 ?利用诱导公式解决给角求值问题典例 1 『规律总结』 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． 化简：命题方向2 ?三角函数式的化简问题典例 2 『规律总结』 利用诱导公式一～四化简应注意的问题：
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．
(2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变．
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．在利用诱导公式进行运算求解时，无论α是否真的是锐角，我们都要把α看作是锐角，这就是作题时需要具备的“整体”思想 .整体思想的应用 典例 3 『规律总结』 解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键，使用诱导公式时要用到“整体”思想． 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝_________.
[错解] 因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－cosθ，故填－cosθ.
[错因分析] 上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解] cosθ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.对诱导公式理解不透致错 典例 4 D A D －1 课时作业学案第一章 1.3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知sin(＋α)＝，那么cosα＝( C )
A．－ B．－
C． D．
2．已知sinα＝，则cos(π＋α)等于( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] cos(π＋α)＝sinα＝.
3．若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于( A )
A．－ B．
C． D．－
[解析] 由已知，得sinα＝，
则cos(－α)＝－sinα＝－.
4．已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( B )
A． B．－
C．± D．
[解析] ∵cos(＋α)＝－，
∴sinα＝－，
∴cos(－3π＋α)＝－cosα＝－＝－.
5．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( B )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，
得：－sinα－sinα＝－a，即sinα＝，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)
＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a.
6．若sin(－α)＝，则cos(－α)的值为( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] cos(－α)＝cos[＋(－α)]
＝－sin(－α)＝－.
二、填空题
7．化简＝__－1__.
[解析] 原式＝
＝
＝－＝－1.
8．(2016·成都高一检测)已知sin(α－)＝，那么cos(α＋)的值是__－__.
[解析] ∵(α＋)－(α－)＝，
∴α＋＝＋(α－)，
∴cos(α＋)＝cos[＋(α－)]＝－sin(α－)＝－.
三、解答题
9．化简：.
[解析] 原式＝
＝
＝＝＝tanα.
10．求证：＋
＝.
[解析] ∵左边＝＋＝＋＝＝＝＝右边，∴等式成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( D )
A．cos(A＋B)＝cosC B．sin(A＋B)＝－sinC
C．cos(＋C)＝sinB D．sin＝cos
[解析] ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC．
所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，
所以sin＝sin(－)＝cos，因此D是正确的．
2．α为锐角，2tan(π－α)－3cos(＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知可得，－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1解得tanα＝3，故sinα＝，选C．
3．已知sin(－α)＝，那么cos(－α)＝( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] cos(－α)＝cos[＋(－α)]
＝－sin(－α)＝－.
4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( C )
A．3－cos2x B．3－sin2x
C．3＋cos2x D．3＋sin2x
[解析] f(cosx)＝f[sin(－x)]
＝3－cos2(－x)
＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x
二、填空题
5．已知sin(＋α)＝，则sin(－α)＝____.
[解析] ∵sin(＋α)＝cosα＝，
∴sin(－α)＝cosα＝.
6．化简＝__－1__.
[解析] 原式＝
＝＝＝－1.
三、解答题
7．若sin(180°＋α)＝－，0°<α<90°.
求的值．
[解析] 由sin(180°＋α)＝－，α∈(0°，90°)，
得sinα＝，cosα＝，
∴原式＝
＝＝＝2.
8．求值；
(1)cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.
[解析] (1)原式＝(cos＋cos)＋(cos＋cos)＋(cos＋cos)＝[cos＋cos(π－)]＋[cos＋cos(π－)]＋[cos＋cos(π－)]＝(cos－cos)＋(cos－cos)＋(cos－cos)＝0.
(2)sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
…，
sin244°＋sin246°＝sin244°＋cos244°＝1，
sin245°＝()2＝，
上述各式相加可得，原式＝44＋＝.
9．是否存在角α，β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解析] 假设存在角α，β满足条件，则
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴cos2α＝，∴cosα＝±.
∵α∈(－，)，∴cosα＝.
由cosα＝，cosα＝cosβ，得cosβ＝.
∵β∈(0，π)，∴β＝，
∴sinβ＝，结合①可知sinα＝，则α＝.故存在α＝，β＝满足条件．
课件37张PPT。第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时 诱导公式五、六 自主预习学案留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合……如果你的手中拿着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对称！
角α关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么关系呢？诱导公式五、六如下表：cosα sinα cosα －sinα 锐角 (2)公式一～六的记忆口诀和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．
②说明：× √ × √ × D 1 －m 互动探究学案命题方向1 ?利用诱导公式进行化简、求值典例 1 『规律总结』 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．命题方向2 ?三角恒等式的证明典例 2 『规律总结』 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．分类讨论思想在三角函数化简中的应用 典例 3 『规律总结』 1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．C 诱导公式的应用 典例 4 B B B B A 课时作业学案
