第一章 1.4 1.4.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是( D )
A．向左右无限伸展
B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
2．从函数y＝cosx，x∈[0,2π)的图象来看，对应于cosx＝的x有( B )
A．1个值 B．2个值
C．3个值 D．4个值
[解析] 如图所示，y＝cosx，x∈[0,2π]与y＝的图象，有2个交点，
∴方程有2个解．
3．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是( B )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
[解析] 由图象得：x的取值范围是[，π]．
4．函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( B )
A．(，1) B．(π，1)
C．(0,1) D．(2π，1)
[解析] 用五点法作出函数y＝－cosx，x>0的图象如图所示．
5．函数y＝|sinx|的图象( B )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于坐标轴对称
[解析] y＝|sinx|＝k∈Z，
其图象如图：
6．函数y＝的定义域为( B )
A．R B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．[－1,0)∪(0,1] D．{x|x≠0}
[解析] 由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)，故选B．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝3＋2cosx的图象经过点(，b)，则b＝__4__.
[解析] b＝f()＝3＋2cos＝4.
8．下列各组函数中，图象相同的是__(4)__.
(1)y＝cosx与y＝cos(π＋x)；
(2)y＝sin(x－)与y＝sin(－x)；
(3)y＝sinx与y＝sin(－x)；
(4)y＝sin(2π＋x)与y＝sinx.
[解析] 本题所有函数的定义域是R.
cos(π＋x)＝－cosx，则(1)不同；
sin(x－)＝－sin(－x)＝－cosx，
sin(－x)＝cosx，
则(2)不同；sin(－x)＝－sinx，则(3)不同；
sin(2π＋x)＝sinx，则(4)相同．
三、解答题
9．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图．
[解析] (1)按五个关键点列表
x
0
π
2π
y
－1
－2
－1
0
－1
(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示．
10．判断方程x2－cosx＝0的根的个数．
[解析] 设f(x)＝x2，g(x)＝cosx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象有两个交点，则方程x2－cosx＝0有两个根．
B级 素养提升
一、选择题
1．若cosx＝0，则角x等于( B )
A．kπ(k∈Z) B．＋kπ(k∈Z)
C．＋2kπ(k∈Z) D．－＋2kπ(k∈Z)
2．当x∈[0,2π]时，满足sin(－x)≥－的x的取值范围是( C )
A．[0，] B．[，2π]
C．[0，]∪[，2π] D．[，]
[解析] 由诱导公式化简可得cosx≥－，结合余弦函数的图象可知选C．
3．函数y＝cosx＋|cosx| x∈[0,2π]的大致图象为( D )
[解析] y＝cosx＋|cosx|
＝，故选D．
4．在(0,2π)上使cosx>sinx成立的x的取值范围是( A )
A．(0，)∪(，2π) B．(，)∪(π，)
C．(，) D．(－，)
[解析] 第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cosx>sinx.
∵x∈(0,2π)，∴cosx>sinx的x范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．
二、填空题
5．(2019·湖南师大附中高一期末)已知函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且有两个不同的交点，则k的取值范围是__(1,3)__.
[解析] 本题主要考查三角函数的图象与性质．因为f(x)＝sinx＋2|sinx|＝，所以当k∈(1,3)时，直线y＝k与f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象有且仅有两个不同的交点．
6．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是____.
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示，
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－三、解答题
7．观察y＝sinx，x∈R的图象，回答下列问题：
(1)当x从0变到时，sinx的值增大还是减小？是正的还是负的？
(2)对应于x＝，sinx有多少个值？
(3)对应于sinx＝，x有多少个值？并写出x的值．
[解析] 根据图象可得，
(1)当x从0变到时，sinx的值增大，且是正的．
(2)对应于x＝，sinx有一个值，为.
(3)对应于sinx＝，x有无数个值，且x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)．
8．已知函数f(x)＝试画出f(x)的图象．
[解析] 在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图象，上方的画成实线，下方的画面虚线，则实线部分即为f(x)的图象．
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
[解析] (1)为使函数有意义，需满足
即
根据函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，得x∈(0，]∪[，π)．
∴所求函数的定义域为(2kπ，2kπ＋]∪[2kπ＋，2kπ＋π)，k∈Z.
(2)为使函数有意义，需满足2sin2x＋cosx－1≥0，
即2cos2x－cosx－1≤0，
解得－≤cosx≤1.
由余弦函数的图象，知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴所求函数的定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
课件45张PPT。第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主预习学案平静的水面投下一颗石子，荡起阵阵水波．在空间中光波、声波、电磁波无处不在，你可知道，这些波传播的波动图与我们所学的三角函数的图象有着密切的关系吗？
正弦线 光滑的曲线 左 右 3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做________曲线和________曲线．
(2)图象：如图所示．正弦 余弦 [知识点拨]1.函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈R的图象的关系
(1)函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象是函数y＝sinx，x∈R的图象的一部分．
(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致，因此将y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就可得到函数y＝sinx，x∈R的图象．2．正弦曲线和余弦曲线的关系× √ × √ √ A A B 互动探究学案 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
[思路分析] 先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．命题方向1 ?用“五点法”作三角函数的图象典例 1 『规律总结』 用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1.描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))． 利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
[思路分析] 先作出y＝cosx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象，再作对称和平移变换．命题方向2 ?利用图象变换作三角函数的图象典例 2 [解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．『规律总结』 1.平移变换
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的．
(2)函数y＝f(x)＋b的图象是由函数y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的．
2．对称变换
(1)函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴上方的部分不动，下方的部分对称翻折到x轴上方得到．(2)函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其对称翻折到y轴左边得到．
(3)函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(4)函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(5)函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称．D 利用正、余弦函数的图象解三角不等式 典例 3 『规律总结』 1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象．
(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．
(3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．〔跟踪练习3〕不等式cosx>0，x∈[0,2π]的解集是_________________. 方程sinx＝lgx的实根个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
[错解] A，如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点，故选A．利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数 典例 4 [错因分析] 作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．
[思路分析] 画出y＝sinx的图象后要充分利用y＝lgx过(1,0)点和(10,1)点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键．
[正解] C 在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sinx＝lgx的解．
[误区警示] 有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图象，利用数形结合求解．D A D C B 5．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．课时作业学案
