第一章 1.4 1.4.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( B )
[解析] 由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B．
2．函数y＝sin的最小正周期为( C )
A．π B．2π
C．4π D．
3．函数f(x)＝7sin(＋)是( A )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
4．函数f(x)＝cos(＋2x)是( C )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
[解析] f(x)＝cos(2π＋＋2x)＝cos(＋2x)＝－sin2x，且f(x＋π)＝－sin[2(x＋π)]＝－sin(2x＋2π)＝－sin2x，所以是周期为π的奇函数．
5．下列说法中正确的是( A )
A．当x＝时，sin(x＋)≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期
B．当x＝时，sin(x＋)＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期
C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期
D．因为cos(－x)＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期
6．若函数y＝2sinωx(ω>0)的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为，则ω的值为( A )
A．3 B．
C． D．
[解析] 函数y＝2sinωx的最小值是－2，该函数的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由＝，得ω＝3.
二、填空题
7．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝__2__.
8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝__－1__.
[解析] 由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)．
又f(1)＝1，则f(5)＝－1.
三、解答题
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．
[证明] ∵f(x＋2)＝，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，
∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.
又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为的是( D )
A．y＝sin B．y＝sin2x
C．y＝cos D．y＝cos(－4x)
2．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( D )
A．10 B．11
C．12 D．13
[解析] T＝＝≤2，∴k≥4π又k∈N*
∴k最小为13，故选D．
3．函数y＝的周期是( C )
A．2π B．π
C． D．
[解析] T＝·＝.
4．函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为( A )
A． B．π
C．2π D．4π
[解析] ∵＋＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的最小正周期为.
5．函数f(x)＝4sin(x＋)是( B )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为6π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
[解析] f(x)＝4sin(x＋)＝4sin(x＋π)＝－4cosx，∴T＝6π，且满足f(－x)＝f(x)，故选B．
二、填空题
6．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝__1__.
[解析] ∵f(x)的周期为，且为偶函数，
∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1.
7．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为__±__.
[解析] ∵f(x)的最小正周期为，ω>0，
∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.
由f＝3sin＝3cosα＝，
∴cosα＝.∴sinα＝±＝±.
三、解答题
8．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
[解析] (1)y＝sinx＋|sinx|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.
9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
[解析] x∈[π，3π]时，
3π－x∈[0，]，
因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．
课件40张PPT。第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时 正弦、余弦函数的性质(一) 自主预习学案如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次．
如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．
正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？1．周期函数
(1)周期函数非零 f(x＋T)＝f(x) 周期函数 非零常数T 周期 (2)最小正周期
本书中，在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的______________.正数 正数 最小正周期 [知识点拨]函数周期性的理解
(1)不是所有的函数都是周期函数．
(2)一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个．
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数f(x)的周期．
(4)设周期为T的函数的定义域为M，若x∈M，则必有x＋nT∈M(n∈Z且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．
(5)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)都不能说T是f(x)的周期．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．
2．正弦函数、余弦函数的周期
(1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是________.
(2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是________.2π 2π
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性
(1)正弦函数y＝sinx是______函数，其图象关于________对称．
(2)余弦函数y＝cosx是______函数，其图象关于________对称．奇 原点 偶 y轴 × × × × √ B A 3 f(x) 互动探究学案命题方向1 ?三角函数的周期典例 1
命题方向2 ?三角函数奇偶性的判断典例 2
〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；
(2)f(x)＝sin(cosx)．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，
∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．三角函数奇偶性与周期性的综合运用 典例 3 『规律总结』 1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．不清楚f(x＋T)表达的意义 典例 4 1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )DA B
4．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝______.
[解析] f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.2 课时作业学案第一章 1.4 1.4.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝2sinx(0≤x≤)的值域是( C )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,1] D．[0,2]
2．下列关系式中正确的是( C )
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°[解析] cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°.
sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.
3．y＝2sinx2的值域是( A )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
[解析] ∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
4．函数y＝是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析] 定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数．
5．函数y＝2sin(－2x)(x∈[0，π])的单调递增区间是( C )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
[解析] ∵y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，
∴函数y＝2sin(－2x)的单调递增区间为函数
y＝2sin(2x－)的单调递减区间．
∴2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∵x∈[0，π]，∴单调递增区间为[，]．
6．函数y＝lncosx(－[解析] 当x∈(－，)时，cosx∈(0,1]，
∴lncosx≤0，
由此可排除B，C，D，故选A．
二、填空题
7．函数y＝sin(x－)，x∈[0，π]的值域为__[－，1]__.
8．函数＝cos(2x－)的单调增区间是__[kπ＋π，kπ＋π]，(k∈Z)__.
[解析] 令t＝2x－，
∴2kπ＋π≤t≤2kπ＋2π时，y＝cost单调递增．
即：2kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π，k∈Z.
∴单调递增区间为：[kπ＋π，kπ＋π]，k∈Z.
三、解答题
9．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；
(2)y＝2sin.
[解析] (1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①
2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②
解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
(2)y＝2sin化为
y＝－2sin.
∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
(k∈Z)，
(k∈Z)．
∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)②
解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、2kπ－，2kπ＋(k∈Z)．
10．求函数y＝sin2x＋sinx－1的值域．
[解析] 令t＝sinx，则t∈[－1,1]，
∴y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，(t∈[－1,1])，
∴当t＝－即sinx＝－，x＝2kπ－或2kπ－π(k∈Z)时，ymin＝－.
当t＝1，即sinx＝1，x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1.
∴原函数的值域为[－，1]．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( A )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
[解析] C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A．
2．函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为( B )
A．－1 B．－
C． D．0
[解析] 由x∈[0，]得2x－∈[－，]，所以sin(2x－)∈[－，1]，故函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为－.
3．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[解析] 因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．
4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵f(x)是偶函数，
∴f(0)＝sin＝±1，
∴＝kπ＋，∴φ＝3kπ＋，(k∈Z)，
又φ∈[0,2π]，∴φ＝π.
二、填空题
5．y＝的定义域为__[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)__，单调递增区间为__[2kπ，2kπ＋]，k∈Z__.
[解析] ∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．
∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z.
6．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是__[－，3]__.
[解析] ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，
∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，
∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin(2x－)≤1，∴－≤3sin(2x－)≤3，
即f(x)的取值范围是[－，3]．
二、解答题
7．已知函数y＝sin(－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
[解析] y＝sin(－2x)可化为y＝－sin(2x－)．
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．
8．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
[解析] ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴a>0时，解得
a<0时，解得
综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
9．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a.
当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围．
[解析] －1≤sinx≤1，令t＝sinx，则－1≤t≤1.
f(x)＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解．
令g(t)＝t2－t－a＝(t－)2－a－，t∈[－1,1]．
如图，方程t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解等价于函数g(t)的图象与坐标系的横轴在[－1,1]上有交点，故只需满足解得－≤a≤2.
∴所求a的取值范围是[－，2]．
课件53张PPT。第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正弦、余弦函数的性质(二)自主预习学案
1．正弦函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质如下表所示：R [－1，1] 2π 奇 2．余弦函数的图象与性质
余弦函数的图象与性质如下表所示：R [－1，1] 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z) 2π 偶 [(2kπ－1)π，2kπ] [2kπ，(2k＋1)π] [知识点拨]1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明
(1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．
(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2kπ，(k∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同．
2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明
(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.
(2)函数y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D来决定．
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．× × √ × √ √ C 互动探究学案命题方向1 ?三角函数的单调区间典例 1 『规律总结』 与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．命题方向2 ?三角函数单调性的应用典例 2 『规律总结』 比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．命题方向3 ?三角函数对称轴、对称中心典例 3 『规律总结』 求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题 典例 4 [思路分析] (1)①先确定sinx的最值再求y的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值．
(2)①利用y＝sinx的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解．
〔跟踪练习4〕求下列函数的值域：
(1)y＝3－2cos2x，x∈R；
(2)y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R；
(3)y＝|sinx|＋sinx.
[解析] (1)∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2.
∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5.
∴函数y＝3－2cos2x，x∈R的值域为[1,5]．忽略定义域导致求错单调区间 典例 5 1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数AB 3．函数y＝2cosx－1的最大值、最小值分别是( )
A．2、－2 B．1、－3
C．1、－1 D．2、－1BB
5．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为________________.
[解析] 令t＝cosx，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cosx＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cosx＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10]．[2,10] 课时作业学案
