第一章 1.5 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cosx的图象上的所有点( A )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
[解析] 由图象的周期变换可知，A正确．
2．下列命题正确的是( B )
A．y＝sinx的图象向右平移个单位得y＝cosx的图象
B．y＝cosx的图象向右平移个单位得y＝sinx的图象
C．当φ>0时，y＝sinx的图象向右平移φ个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象
D．当φ<0时，y＝sinx的图象向左平移φ个单位可得y＝sin(x－φ)的图象
3．要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象( C )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] 由y＝3sin2(x＋φ)＝3sin(2x＋)，得
∴2φ＝，φ＝.故向左平移个单位．
4．为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需把函数y＝sin(2x＋)的图象( B )
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
[解析] 由y＝sin(2x＋)y＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x－)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个长度单位，故选B．
5．要得到函数y＝sin(4x－)的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( B )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] y＝sin(4x－)＝sin4(x－)，故要将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．故选B．
6．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是( A )
[解析] 先由y＝sinx的图象横坐标缩短到原来的，得到y＝sin2x，然后再向右平移个单位，得y＝sin(2x－)，所以图象应过(，0)，且在该点右侧函数值为正，故选A．
二、填空题
7．将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为__y＝cos(2x＋)__.
8．将函数y＝sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得__y＝sin4x__的图象．
三、解答题
9．将函数y＝sin2x的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图象的函数解析式．
[解析] y＝sin2xy＝sin2(x)＝sinx.
y＝sinxy＝sinx.
即所得图象的解析式为y＝sinx.
10．已知函数y＝3sin(x－)．
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．
[解析] (1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点：在坐标系中描出下列各点(，0)，(，3)，(，0)，(，－3)，(，0)．
连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．
这样就得到了函数y＝3sin(x－)在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin(x－)的图象．
(2)①把y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象；
②把y＝sin(x－)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图象；
③将y＝sin(x－)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin(x－)的图象．
B级 素养提升
一、选择题
1．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( C )
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
[解析] 函数y＝sinx的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．
2．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( B )
[解析] 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向右平移1个单位长度得：y2＝cos(x－1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x－1)．令x＝0，得：
y3>0；x＝＋1，得：y3＝0；观察即得答案．
3．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则有( C )
A．A＝2，ω＝，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－ D．A＝1，ω＝2，φ＝－
[解析] 由表格得A＝2，π－＝，
∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.
当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.
4．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为( D )
A．y＝sin(x－) B．y＝sin2(x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝sin(2x－)
[解析] 根据题意，y＝sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝sin(x－)，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y＝sin(2x－)，此即y＝f(x)的解析式．∴应选D．
二、填空题
5．把函数y＝sin(2x－)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得图象对应的解析式为__y＝sin(4x－)__.
[解析] 将函数y＝sin(2x－)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)－]＝sin(2x－)的图象，再将所得函数y＝sin(2x－)的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin(4x－)的图象．
6．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝__2sin－1__.
[解析] 将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝3sin(x－)，x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
[解析] (1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
由x－＝0，，π，，2π，
解得x＝，，，，.
列表如下：
x
x－
0
π
2π
3sin(x－)
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．
图象如下：
(2)方法一：先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
方法二：先把y＝sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移个单位，得到f(x)的图象．
8．将函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
[解析] 函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，
可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋)－]＝cos2x的图象，即图象C2.
(1)画出图象C1和C2的图象如图
(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.
课件41张PPT。第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1课时 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 自主预习学案
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上所有的点向______(当φ>0时)或向______(当φ<0时)平行移动__________个单位长度得到的．左 右 |φ| [知识点拨](1)y＝sin(x＋φ)与y＝sinx的图象形状是完全一样的，y＝sin(x＋φ)的图象可以由y＝sinx的图象向左或向右平移得到的．
(2)左右平移是对x本身而言的，如果前面的系数为负数，应先化为正数，然后进行左右平移．
(3)推广到一般有：将函数f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后，得到函数f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时，向左平移，当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”． 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象
上所有点的______坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标不变)而得到．横 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上的所有点的______坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A．
(2)|A|的大小反映了曲线y＝Asin(ωx＋φ)波动幅度的大小．
(3)y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin(ωx＋φ)的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换．
(4)推广到一般有：函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0①先平移后伸缩× √ × × B D 互动探究学案命题方向1 ?用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)典例 1
用图象变换作函数图象 典例 2 『规律总结』 1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．
2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．D 因忽视自变量x的系数和平移的方向致错 典例 3 A D C B 课时作业学案第一章 1.5 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( B )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
[解析] 函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin2(x＋)，令2(x＋)＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B．
2．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是( A )
A． B．
C． D．－
[解析] 由于f(x)是偶函数，
则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，
则f(0)＝±2，
又当φ＝时，f(0)＝2sin＝2，
则φ的值可以是.
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( B )
A．3或0 B．－3或3
C．0 D．－3或0
[解析] 由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
则f是函数f(x)的最大值或最小值，
则f＝－3或3.
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( A )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
[解析] 本题考查正弦型函数的周期与初相．
T＝－(－)＝，
∴T＝＝π，∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，
∴φ＝－.
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( A )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 函数f(x)的周期T≤4＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
6．已知函数f(x)＝sinx(a>0)的图象上的一个最大值点恰在圆x2＋y2＝a2上，则f(x)的最小正周期是( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 当x＝，即x＝时，f(x)max＝.把点(，)代入x2＋y2＝a2，∵a>0，∴a＝4，f(x)＝sinx，则T＝4.
二、填空题
7．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝____.初相φ＝____.
[解析] 当t＝时，s＝3sin＝3×＝.
8．(2018·江苏卷，7)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为__－__.
[解析] 由题意得f＝sin＝±1，∴ π＋φ＝kπ＋，∴ φ＝kπ－，k∈Z.∵ φ∈，∴ 取k＝0得φ＝－.
三、解答题
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在同一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．
[解析] 方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.
又(＋)＝，
∴图象上的最高点为(，)，∴＝sin(2×＋φ)，即sin(＋φ)＝1，可取φ＝－，
故函数的一个解析式为y＝sin(2x－)．
方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点(，0)，(，0)，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得
故函数的一个解析式为y＝sin(2x－)．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．
[解析] (1)由最低点为M(，－2)得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M(，－2)是图象的一个最低点，得
2sin(＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1，＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈(0，)，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
B级 素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( B )
A．4 B．2
C．1 D．
[解析] f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2.
2．(2017·天津高考理科)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
[解析] ∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．
∴2sin(×＋φ)＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
3．(2018·沈阳铁路高中期末)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝π时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( D )
A．f()C．f()[解析] f(x)＝Asin(2x＋)，
f()＝Asin(π＋)＝－A，
f(0)＝A·sin＝A，f()＝Asin＝A，故选D．
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( A )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
[解析] ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，∵－π<φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(＋)，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
二、填空题
5．若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为____.
[解析] y＝sin(ωx＋)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[ω(x－)＋π]，即y＝sin(ωx＋π－π)，
故π－π＋2kπ＝(k∈Z)，
即π＝π＋2kπ，ω＝＋6k(k∈Z)，
∵ω>0，∴ω的最小值为.
6．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为__②④__.
[解析] ∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．由图象及性质可知②④正确．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，满足f(x＋4)＝－f(x)，f(4－x)＝f(＋x)．求f(x)的解析式．
[解析] 由f(4＋x)＝－f(x)，得
f(8＋x)＝f[4＋(4＋x)]
＝－f(4＋x)
＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)周期是8，即T＝8.
由T＝＝8，得ω＝.由f(4－x)＝f(＋x)知，
f(x)的图象关于直线x＝＝对称．
所以×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ－，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝－.
故f(x)＝sin(x－)．
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和.
求：(1)f(x)的解析式；
(2)f(x)的值域；
(3)f(x)的对称轴．
[解析] (1)A＝，T＝2＝π，
∴＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
又在f(x)图象上，
∴f＝0.∴sin＝0.
∴sin＝0.
又－π<φ<0，∴φ＝－.∴f(x)＝sin.
(2)值域是[－，]．
(3)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．
∴对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
课件52张PPT。第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用自主预习学案在物理中，我们已经学习了简谐运动，了解其运动的规律及图象．那么如何用数学知识来研究它的性质呢？
往复运动一次所需要的时间 往复运动的次数 x＝0时的相位 R [－A，A] √ × × √ A A 互动探究学案 如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，试确定A，ω，φ的值．命题方向1 ?由图象求解析式典例 1
命题方向2 ?函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性典例 2 A
D 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 典例 3 相位、初相概念理解错误 典例 4 [错因分析] 此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A>0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A>0，ω>0”再求．A C D A A 5．函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是______________.课时作业学案