第一章 1.6
A级 基础巩固
一、选择题
1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( D )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为( B )
A．5 A B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
[解析] 将t＝代入I＝5sin
得I＝2.5 A．
3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( D )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析] 由已知可得该函数的周期为T＝12，
ω＝＝，
又当t＝0时，A(，)，
∴y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由函数的周期T＝1，可得＝1，求得l＝.
二、填空题
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.
6．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则函数的解析式为s＝__6sin(2πt＋)(t≥0)__.
[解析] 根据图象，知x轴上标有，的两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝.
所以T＝1，ω＝＝2π.
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
又当t＝0时，s＝3，所以3＝Asin，A＝6.
所以函数解析式为s＝6sin(2πt＋)(t≥0)．
三、解答题
7．已知某地一天从4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(x－)＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的温差；
(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解析] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃；当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以温差为30－10＝20(℃)．
(2)∵4≤x≤16，
∴x－∈[－，]，
令15≤10sin(x－)＋20≤25，
∴－≤sin(x－)≤.
∴－≤x－≤.
∴≤x≤.
∴该细菌的存活时间为－＝(小时)．
8．通常情况下，同一地区同一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出荆门地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24])的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解析] (1)由题意知解得易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin(×2＋φ)＋6＝－2，
即sin(×2＋φ)＝－1，故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，得φ＝－，所以y＝8sin(x－)＋6(x∈[0,24])．
(2)当x＝9时，y＝8sin(×9－)＋6＝8sin＋6<8sin＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．
B级 素养提升
一、选择题
1．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin(2t＋)，s2＝5cos(2t－)．则在时间t＝时，s1和s2的大小关系是( C )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
[解析] 当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.
2．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为( A )
A．0 B．－5
C．10 D．－10
[解析] 由图知，A＝10，函数的周期T＝2＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.
3．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( C )
[解析] 由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R· sin，∴d＝2Rsin＝2Rsin.又R＝1，∴d＝2sin，故结合正弦函数的图象可知选C．
4．曲线y＝Asinωx＋a(A>0，ω>0)在区间[0，]上截直线y＝2及y＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A、a的描述正确的是( A )
A．a＝，A> B．a＝，A≤
C．a＝1，A≥1 D．a＝1，A≤1
[解析] 图象的上下部分的分界线为y＝＝，得a＝，且2A>3，即A>.
二、填空题
5．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为__h＝－6sint__.
6．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要__0.8__s往返一次．
[解析] 由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
7．2016年，包头市将投资1 494.88亿进行城乡建设．其中将对奥林匹克公园进行二期扩建，拟建包头市最大的摩天轮建筑．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为__85__米．
[解析] 设P与地面高度与时间t的关系，f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0,2π))，
由题意可知：A＝50，B＝110－50＝60，T＝＝21，∴ω＝，
即f(t)＝50sin(t＋φ)＋60，
又因为f(0)＝110－100＝10，即sinφ＝－1，故φ＝，
∴f(t)＝50sin(t＋)＋60，
∴f(7)＝50sin(×7＋)＋60＝85.
三、解答题
8．如图，东北某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)．
(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
[解析] (1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，
则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．
(2)由(1)得
解得A＝5，b＝－7.
由图象得函数的周期T＝2(14－6)＝16，
则＝16，解得ω＝.所以y＝5sin－7.
由图象知点(10，－7)在函数的图象上，
则－7＝5sin－7，
整理得sin＝0，
又|φ|<，则φ＝－.
则这段曲线的函数解析式是
y＝5sin－7(6≤x≤14)．
9．以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元．请分别建立出厂价、销售价随时间变化的函数关系式．
[解析] 设出厂价波动函数为y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．由题意，知A＝2，T1＝8，ω1＝.当x＝3时，＋φ1＝，
∴φ1＝－，∴出厂价的函数关系为y1＝6＋2sin(x－)．设销售价波动函数为y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．由题意，知B＝2，T2＝8，ω2＝.当x＝5时，有＋φ2＝，∴φ2＝－，∴销售价的函数关系为y2＝8＋2sin(x－)．
课件42张PPT。第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用自主预习学案大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识．
(1)根据实际问题的图象求出函数解析式．
(2)三角函数作为描述现实世界中____________的一种数学模型，因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用搜集的数据，作出__________，通过观察散点图进行____________而得到函数模型．最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．周期现象 散点图 函数拟合
[知识点拨]三角函数模型应用注意点
(1)一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．
(2)应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．√ × × √ D
3．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是__________.互动探究学案 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；命题方向1 ?三角函数模型在物理中的应用典例 1 [思路分析] 对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解．『规律总结』 解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
〔跟踪练习1〕本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当t＝10秒时的电流强度I应为多少？命题方向2 ?三角函数模型在生活中的应用典例 2 A 『规律总结』 1.解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．
2．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．C 利用数据作出散点图，对图象形状进行判断，构建函数模型求其中的参数．数据拟合三角函数问题 典例 3 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8﹕00时至晚上20﹕00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[思路分析] 本题以实际问题引入，注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征．『规律总结』 处理此类问题时，先要根据图表或数据正确地画出简图，然后运用数形结合思想求出问题中的关键量，如周期、振幅等． 弹簧振子以点O为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C两点相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5秒振子首先到达C点．求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)振子在5秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的大小． 不能正确认识简谐运动的过程而导致错误 典例 4 [错因分析] 实际问题中，变量常常有一定的范围，因此，在转化为数学模型后要注意标出自变量的取值范围．1．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是( )
A．60 B．70
C．80 D．90CC A 4.如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为________万度，最小用电量为________万度；
(2)这段曲线的函数解析式为________________________________.50 30 课时作业学案
