第二章 2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数是( B )
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．下列说法中，不正确的是( D )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
[解析] 很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3．下列命题中正确的个数为( B )
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；
③若非零向量a与b共线，则a＝b；
④四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||；
⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①显然错误；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；
③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；
④对；
⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．
4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
[解析] 如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
5．如图所示，在⊙O中，向量，与是( C )
A．有相同始点的向量 B．共线向量
C．模相等的向量 D．相等的向量
6．如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是( C )
A．||＝|| B．与共线
C．与共线 D．与共线
二、填空题
7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”“相等”“无关”)．
8．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为____.
三、解答题
9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解析] (1)与相等的向量为、，与相等的向量为.
(2)，，.
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
[解析] (1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
B级 素养提升
一、选择题
1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( C )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
[解析] 由＝?BA∥CD且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD为菱形.
2．下列说法中错误的是( C )
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．
3．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是( D )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
[解析] 由相等向量的定义，显然＝.
4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( B )
A．C?A B．A∩B＝{a}
C．C?B D．A∩B?{a}
[解析] 因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错．
二、填空题
5．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有__2__对．
[解析] ＝，＝.其余不等．
6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__.
[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
三、解答题
7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1.5，求||的大小．
[解析] (1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，.
(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，.
(3)若||＝1.5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3.
8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
[解析] (1)画出所有的向量如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.
课件41张PPT。第二章平面向量帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第二届奥运会开始列为正式比赛项目，帆船的最大动力来源是“伯努利效应”，如果一帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以20 km/h的速度行驶，而此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，可求得帆船的速度的大小和方向.在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量，一类量是只有大小而没有方向，这类量叫做数量；另一类量是既有大小又有方向，即本章要学习的向量.2.1 平面向量的实际背景及基本概念自主预习学案你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15～32℃，东南风3～4级．天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速．前者在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向．回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移……这些量进行抽象，形成一种新的量，即本节知识——向量．1．概念
(1)向量：既有________，又有________的量叫做向量，如力、位移等．
(2)数量：只有大小，没有________的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．
[知识点拨]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．大小 方向 方向 方向 起点 终点 AB 起点 方向 长度 终点 [知识点拨]有向线段与向量的区别和联系有向线段 长度 3．有关概念0 1 长度 a＝b 有向线段 相同 相反 a∥b 平行 直线 共线 [知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点
(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量．
2．对平行向量、相等向量概念的理解
(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”．
(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．
(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)数量可以比较大小，向量也可以比较大小．( )
(2)平行向量方向一定相同．( )
(3)不相等向量一定不平行．( )
(4)与零向量相等的向量是零向量．( )
(5)与任何向量都平行的向量是零向量．( )
(6)共线向量一定在一条直线上．( )
(7)若两向量平行，则这两向量的方向相同或相反．( )×××√√××2．下列物理量中不是向量的有( )
(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程
(6)密度 (7)功 (8)电流强度
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] 看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．A互动探究学案 给出下列命题：
(1)平行向量的方向一定相同；
(2)向量的模一定是正数；
(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；命题方向1 ?向量相等、向量共线的概念(3) 典例 1 [思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．『规律总结』 对于判断命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．〔跟踪练习1〕给出下列几种说法：
①若非零向量a与b共线，则a＝b；
②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的序号是____________.
[解析] ①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．
②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．
③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．
④错误 .当b＝0时，则a与c就不一定平行了．①②③④ 如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．命题方向2 ?向量相等或共线综合典例 2 向量在平面几何中的应用 典例 3
给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[错解] D
[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．混淆向量的有关概念 典例 4 [正确] A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[误区警示] 明确向量及其相关概念的联系与区别：
(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．
(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．
(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．〔跟踪练习4〕下列说法正确的是( )
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错．故选C．C1．下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
[解析] A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A、B、D都是错误的，C显然正确．CB D A
5．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成__________.
[解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．一个圆 课时作业学案
