第二章 2.2 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列等式中不正确的是( C )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋
[解析] 当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] ＋＝.
3．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是共线向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
[解析] 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
4．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] 连结CF，取CF中点O，连结OE，CE.
则＋＋＝(＋)＋＝.
5．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是( B )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ＋＝，则||＝||＝||，
则△ABC是等边三角形．
6．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( C )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
[解析] ∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0.故选C．
二、填空题
7．化简下列各式：
(1)＋＋＝__0__；
(2)＋＋＋＝____.
[解析] (1)＋＋＝＋＝0.
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
8．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝____.
[解析] ＋＋＝＋＋＝.
三、解答题
9．如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
[解析] (1)a＋d＝d＋a＝＋＝.
(2)c＋b＝＋＝.
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝.
(4)c＋f＋b＝＋＋＝.
10．如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0.
[证明] (1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝0＋0＋0＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( A )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
[解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．
即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.
2．向量a、b均为非零向量，下列说法中不正确的是( B )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
[解析] 当a与b反向，且|a|<|b|时，向量a＋b与b的方向相同．
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C )
①a∥b ②a＋b＝a ③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b| ⑤|a＋b|＝|a|＋|b| ⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥ B．①③⑥
C．①③⑤ D．②③④⑤
[解析] ∵a＝(＋)＋(＋)
＝＋＋＋＝＋＋
＝＋＝0，
∴①③⑤均正确．
4．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( C )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．3＋
[解析] 由三角形重心性质得＋＋＝0.
二、填空题
5．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8_km/h__.
[解析] ∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝__1__.
[解析] 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABC是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1.
三、解答题
7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：＋＝＋.
[解析] ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0.
故＋＝＋＋0＝＋.
8．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小．
[解析] 如图所示，过D作AC的平行线，交BC的延长线于点E.
∵DE∥AC，AD∥BE，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴＝，＝，
于是a＋b＋c＝＋＋
＝＋＝＋＝＝＋，
∴|a＋b＋c|＝|＋|＝8.
课件47张PPT。第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义自主预习学案我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？
1．向量的加法
(1)定义：求两个向量______的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个________.和 向量 向量和 [知识点拨]向量加法的平行四边形法则和三角形法则
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点A出发，①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b，②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
(1)对于任意向量a，b，都有_____________________≤__________；
(2)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝_____________；
(3)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝__________或__________)．
[知识点拨]根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．当a与b共线时，取等号．||a|－|b||≤|a＋b| |a|＋|b| |a|＋|b| |a|－|b| |b|－|a| × √ × × × 2．如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋c.
[解析] a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．互动探究学案 (1)如图，已知a、b，求作a＋b.命题方向1 ?向量的加法及几何意义典例 1 (2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.
[思路分析] (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用．
(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和． 化简下列各式：命题方向2 ?向量加法运算律的应用典例 2 『规律总结』 向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．向量加法的实际应用中，要注意如下应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．向量加法的实际应用 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[思路分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．典例 3 〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)． 若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则( )
A．a，b同向共线
B．a，b反向共线
C．a，b同向共线且|b|>|a|
D．a，b反向共线且|b|>|a|
[错解] B对不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立条件理解不清致误 典例 4 [辨析] 错解只考虑了向量的方向，但没有注意到其模的大小关系．
[正解] D 由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故选D．
[误区警示] 弄清a＋b的方向以及模与向量a，b的方向、模之间的关系：
(1)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(2)当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|则a＋b＝0.
〔跟踪练习4〕已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定A D B C D C 课时作业学案
