第二章 2.2 2.2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝( A )
A．λ(＋) λ∈(0,1)
B．λ(＋) λ∈(0，)
C．λ(－) λ∈(0,1)
D．λ(－) λ∈(0，)
[解析] 设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
2．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝( D )
A．－ B．＋
C．＋ D．－
[解析] ＝＋＝＋＝－.
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] (方法一)：由＝2，
可得－＝2(－)?＝＋，
所以λ＝.故选A．
(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A．
4．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( B )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
[解析] ∵＝λ＋，∴－＝λ.
∴＝λ.
∴P、A、C三点共线．
∴点P一定在AC边所在的直线上．
5．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( A )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
[解析] ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以，A、B、D三点共线．
6．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是( A )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
[解析] ∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝.
∴＝＋＝＋(－)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q.
二、填空题
7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝__3__；y＝__－4__.
[解析] 因为a与b不共线，根据向量相等得解得
8．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____.
[解析] 由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
三、解答题
9．计算：(1)[(3a＋2b)－(a＋b)]－2(a＋b)；
(2)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解析] (1)原式＝(2a＋b)－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10－3－7)a＋(－8＋9)b＋(2－3)c＝b－c.
10．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F分别为AC，BA的中点，AD，BE，CF相交于点O，求证：
(1)＝(＋)；
(2)＋＋＝0；
(3)＋＋＝0.
[证明] (1)∵D为BC的中点，
∴＝＋，＝＋，
∴2＝＋＋＋，
∴＝(＋)．
(2)∵＝(＋)，
＝(＋)，＝(＋)，
∴＋＋＝0.
(3)∵＝－，＝－，＝－，
∴＋＋＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
[解析] A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C．
2．设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为( D )
A．0 B．－1
C．－2 D．－
[解析] ∵向量a与b共线，∴存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2.
∴解得λ＝－.
3.在□ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若＝a，＝b，则＝( D )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[解析] ＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋(b－a)＝a＋b.
4．在△ABC中，点D在BC边所在直线上．若＝4＝s－r，则s＋r等于( C )
A．0 B．
C． D．3
[解析] 由题意可得，＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－
＝－，
∴s＋r＝.
二、填空题
5．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是__2∶3__.
[解析] 因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
6．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝__2__.
[解析] 如题图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2.
三、解答题
7．如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
[证明] 在△BCD中，
∵G，F分别是CD，CB的中点，
∴＝，＝.
∴＝－＝－
＝.
同理＝.
∴＝，即与共线．
又∵G、F、H、E四点不在同一条直线上，
∴GF∥HE，且GF＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形．
8．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且＝t，求t的值．
[解析] ∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－.
∴2＝，
即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
又＝－，
∴＝＋(－1).
又＝－＝－，且＝t，
∴＋(－1)＝t(－)．
∴解得t＝.
课件50张PPT。第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义自主预习学案
1．向量的数乘向量 相同 0 相反 2.数乘的几何意义
λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．3．向量数乘的运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：
设λ、μ为实数，则
(1)λ(μa)＝______________；
(2)(λ＋μ)a＝______________；
(3)λ(a＋b)＝______________(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝______________＝______________，λ(a－b)＝______________.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________.
5．向量的线性运算
向量的______、______、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________.加 减 数乘 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)对于任意向量a和任意实数λ，λa与a一定是共线向量．( )
(2)向量λa与a的方向不是相同就是相反．( )
(3)若向量a和b共线，则必有b＝λa.( )
(4)若向量a和b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.( )√××√× 2．已知非零向量a、b满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
[解析] ∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
∵4b与b的方向相同，
∴a与b的方向相同．CB C 互动探究学案 计算：命题方向1 ?向量的线性运算典例 1 『规律总结』 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 设两个非零向量a与b不共线，命题方向2 ?共线向量定理及其应用典例 2 (2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.『规律总结』 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．命题方向3 ?用向量的线性运算表示未知向量典例 3 『规律总结』 解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．命题方向4 ?三角形内心在向量形式下的判断典例 4 B
B 三点共线定理 典例 5 D 进行向量的线性运算时忽略图形的性质 典例 6 [误区警示] 在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质．应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解．B 2．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是( )
A．λa与a同向 B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
[解析] 对A，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.C D 4．已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或e1＝0
[解析] 当e1＝0时，显然有a∥b；
当e1≠0时，b＝2e1≠0，又a∥b，
∴存在实数μ，使a＝μb，即e1＋λe2＝2μe1，
∴λe2＝(2μ－1)e1，又λ≠0，∴e1∥e2.D课时作业学案
