第二章 2.3 2.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
[解析] 3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底．
2．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a、b的判断正确的是( B )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
[解析] 由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B．
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2＝，＝＋λ，则λ等于( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
方法二 因为A，B，D三点共线，＝＋λ，所以＋λ＝1，所以λ＝.
4．(2019·湖南长沙市中学期末)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则( A )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
[解析] ＝＋＝－＋＝－×(＋)＋＝－.
5．点M是△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，D为AC中点，则的值为( B )
A． B．
C．1 D．2
[解析] 由＝－(＋)＝－2，得＝－，∴＝.
6．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( C )
A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一
C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在
[解析] 选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．
二、填空题
7．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝__b＋a__.
[解析] ＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
8．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋3b平行，则实数λ＝____.
[解析] 依据平行向量基本定理列方程组求解．
∵λa＋b与a＋3b平行，
∴可设λa＋b＝t(a＋3b)，
即λa＋b＝ta＋3tb，
∴解得
三、解答题
9．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底、表示.
[解析] ∵D是BC边的四等分点，
∴＝＝(－)，
∴＝＋＝＋(－)＝＋.
10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，
＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
B级 素养提升
一、选择题
1．如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( A )
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数，m，n，使a＝me1＋ne2
[解析] 选项B中应为“平面内任一向量”，C中me1＋ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的，只有A正确．
2．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为( B )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[解析] ∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c，
∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．
∴a与b的夹角为120°.
3．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( C )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由已知可得2＝＋＋2λ，
∴(－)＋(－)＝－2λ
∴＋＝－2λ.
设BC的中点为D，则2＝－2λ，
∴＝λ，
∴P，A，D三点共线，
∴P在中线AD上．
4．若＝a，＝b，＝λ，则＝( D )
A．a＋λb B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b D．
[解析] ∵＝λ，
∴－＝λ(－)，
(1＋λ)＝λ＋，∴＝.
二、填空题
5．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值等于__6__.
[解析] 如图，＝＋＝λ＋μ，
在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，
可求||＝4，同理||＝2，
∴λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
6．已知e1、e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝__－2__.
[解析] ∵a∥b，则2e1－e2＝λ(ke1＋e2)．
又∵e1、e2不共线．
∴解得：
三、解答题
7．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝2e1－3e2，试用a，b表示c.
[解析] 设c＝xa＋yb，则2e1－3e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)，
即(3x－2y)e1＋(y－2x)e2＝2e1－3e2.
又e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以解得
所以c＝4a＋5b.
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是、的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式、、.
[解析] 如图所示，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2，
又＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝－＋＋
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
而＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋－
＝＋e2－
＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.
课件35张PPT。第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理自主预习学案
1．平面向量基本定理不共线 任意 有且只有 不共线 基底 [知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0.
(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．∠AOB 同向 反向 垂直 a⊥b 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1，e2线性表示．( )
(2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.( )
(4)若两个向量的夹角为θ，则当|cosθ|＝1时，两个向量共线．( )
(5)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.( )×××√√D B B 互动探究学案命题方向1 ?对基底概念的理解典例 1 B [思路分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．
[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．『规律总结』 根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．〔跟踪练习1〕设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是______.(写出所有满足条件的序号)③ 命题方向2 ?求两向量的夹角典例 2 『规律总结』 求两向量夹角时，一定要让两向量共起点，否则会出现错误．用基底表示平面内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加法或数乘运算将所求向量用基底表示出来．用基底表示平面向量 典例 3 A 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[错解] A
[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．忽略两个向量作为基底的条件 典例 4
[思路分析] 当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．
[正解] D
[误区警示] 当条件不明确时要分类讨论．〔跟踪练习4〕已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于______.3 1．向量的夹角θ的范围是( )
A．0°≤θ<180° B．0°≤θ≤180°
C．0°<θ<180° D．0°<θ≤180°B 2．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A．e1、e2一定平行
B．e1、e2的模相等
C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
[解析] 由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C不正确．D B B 课时作业学案
