第二章 2.3 2.3.2 2.3.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知＝(2,3)，则点N位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
[解析] 因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．
2．设A(1,2)，B(4,3)，若向量a＝(x＋y，x－y)与相等，则( C )
A．x＝1，y＝2 B．x＝1，y＝1
C．x＝2，y＝1 D．x＝2，y＝2
[解析] ＝(3,1)与a＝(x＋y，x－y)相等，则.∴x＝2，y＝1.
3．向量＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( D )
A．x>0 B．x<1
C．x<0或x>1 D．0[解析] 由A点在第四象限，所以，
解得04．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( C )
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
[解析] 2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1,3)．
5．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] a＝＝－
＝，λa＝a＝，故选A．
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为( D )
A．－2,3 B．－2，－3
C．2，－3 D．2,3
[解析] 利用相等向量的定义求解．
∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，
∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，
即，解得：k＝2，l＝3.
二、填空题
7．若O(0,0)、A(1,2)且＝2，则A′的坐标为__(2,4)__.
[解析] A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，∴(x，y)＝2(1,2)＝(2,4)．
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝__(－3，－5)__.
[解析] ∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
三、解答题
9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标．
(2)若B(，－1)，求的坐标．
[解析] (1)设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，
＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
[解析] (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0?t＝－；
若点P在y轴上，则1＋3t＝0?t＝－；
若点P在第二象限，则
解得－(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，需＝，
于是此方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
B级 素养提升
一、选择题
1．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“?”为a?b＝(ms，nt)．若向量p＝(1,2)，p?q＝(－3，－4)，则向量q＝( D )
A．(－3,2) B．(3，－2)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
[解析] 设向量q＝(x，y)，根据题意可得x＝－3,2y＝－4，解得x＝－3，y＝－2，即向量q＝(－3，－2)．
2．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( D )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，∴点A位于第四象限，故选D．
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( D )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
[解析] 由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为( C )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
[解析] 由题意，知点G是△ABC的重心，设C(x，y)，则有解得故C(4，－2)．
二、填空题
5．已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，则点P的坐标是__(－1，－)__.
[解析] 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)．
∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．
即，解得，∴P(－1，－)．
6．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝____.
[解析] 设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即
解得因此，＝.
三、解答题
7．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)及＝＋λ(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)四边形ABCP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(3,1)，＝(5,7)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3,1)＋λ(5,7)，
即
∴P(5λ＋5,7λ＋4)．
(1)当点P在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝.
(2)＝(3,1)，＝(2－5λ，6－7λ)．
若四边形ABCP为平行四边形，需＝，
于是方程组无解，故四边形ABCP不能成为平行四边形．
8．已知点A(－1,2)，B(2,8)，及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
[解析] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)，
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．
∴
∴
∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
课件43张PPT。第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算自主预习学案卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？
1．平面向量的正交分解
把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向________的两个________向量i，j作为________.垂直 相同 单位 基底 (2)坐标：对于平面内的一个向量a，______________对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对______________叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在______轴上的坐标，y叫做向量a在______轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝______________， j＝______________，0＝______________.有且只有一 (x，y) x y (1,0) (0,1) (0,0) (x，y) 坐标 一一对应 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．
2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)．
(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)．4．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：和 (x1＋x2，y1＋y2) 差 (x1－x2，y1－y2) 相应坐标 (λx1，λy1) (x2－x1，y2－y1) 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)一个坐标对应唯一的一个向量．( )
(2)相等的向量，即坐标是相同的．( )
(3)相等的向量其终点坐标与起点坐标是相同的．( )
(4)一个向量的坐标等于其起点的坐标减去其终点的坐标．( )
(5)任何平面向量都有唯一的坐标．( )×√××√B 3．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是( )
A．a＝(－2,4)，b＝(0,3)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,7)
D．a＝(4，－2)，b＝(－8,4)D
4．已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，则b－a等于( )
A．(－3,2) B．(3，－2)
C．(－3，－2) D．(－2，－3)C互动探究学案 在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．命题方向1 ?利用正交分解求向量的坐标典例 1
D 命题方向2 ?向量的坐标运算典例 2 『规律总结』 (1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．
(2)若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．方程思想的运用 典例 3 『规律总结』 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法．设c＝xa＋yb，在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x，y的值．误把向量的坐标当作点的坐标 典例 4 [误区警示]向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的．1．向量正交分解中，两基底的夹角等于( )
A．45° B．90°
C．180° D．不确定BD D
4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
[解析] a＋b＝(0,1＋x2)，与y轴平行．C
5．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.－3 课时作业学案
