第二章 2.3 2.3.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( C )
A．－ B．
C．－或 D．0
[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－.
2．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为( C )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] ＝(3，y－1)，又∥a，
所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7.
3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( A )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
[解析] 设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，
∴解得∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴＝(－7，－4)，选A．
4．已知向量a＝(，sinα)，b＝(sinα，)，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
[解析] ∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sinα＝±.
∵α为锐角，∴α＝30°.
5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6.
6．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( A )
A．－ B．
C．2 D．－2
[解析] 2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，
a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)
∵(2a＋b)∥(a－mb)
∴－1＝(1＋3m)×2∴6m＝－3，解得m＝－
二、填空题
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为____.
[解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)
∵(a＋λb)∥c，
∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝.
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为__λ＝u__.
[解析] ∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．
又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，
∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0.∴λ＝u.
三、解答题
9．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
∴m＝，n＝.
(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．
又∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
10．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件．
(2)若＝2，求x，y的值．
[解析] (1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得
＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)＝(－x－1，－y)
由＝2得
(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则a和b的关系是( B )
A．共线且方向相同 B．共线且方向相反
C．是相反向量 D．不共线
[解析] 因为a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，所以a＝－b，由于λ＝－<0，故a和b共线且方向相反．
2．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( D )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴.∴c＝－d，∴c与d反向．
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( D )
A．－2 B．0
C．1 D．2
[解析] 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝( C )
A．{(1,1)} B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
[解析] 设a∈M∩N，则存在实数λ和中μ，
使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．
∴解得
∴a＝(－2，－2)．
二、填空题
5．(北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝__1__.
[解析] a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，
所以＝，解得k＝1.
6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为__(，)__.
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有＝，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，
由题意得解得
∴点P的坐标为.
三、解答题
7．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝.
(1)求E、F的坐标；
(2)判断与是否共线．
[解析] (1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，
依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．
由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即，解得，∴E(－，)．
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．
∴，解得∴F(，0)，
即E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0)．
(2)由(1)可知＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，(O为坐标原点)，
又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，
即与共线．
8.如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线．
[解析] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，
∴∥，即DE∥BC．
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1,0)－(0，)＝(1，－)．
∴＝－，∴∥.
又 MD与MB共点于M，
∴D，M，B三点共线．
9．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
[解析] 以A为坐标原点，为x轴，为y轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)．
∴F(6,4)，E(3,0)．
设P(x，y)，＝(x，y)．
＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6)．
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得∴
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－×3×3－×3×6＝.
课件30张PPT。第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.4 平面向量共线的坐标表示自主预习学案首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京700余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是，科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合．你知道如何判断两条直线平行或重合吗，两向量是否共线又如何判断呢？
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当_______________时，a∥b.
[知识点拨]两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb.
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．x1y2＝x2y1 × √ √ √ 2．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
3．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9DD互动探究学案 已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？命题方向1 ?向量共线条件的坐标表示典例 1 『规律总结』 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.〔跟踪练习1〕(2018·全国卷Ⅲ理，13)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝______.命题方向2 ?三点共线问题典例 2
已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标．向量法在解析几何中的应用 典例 3 [思路分析] (1)AC与OB相交于点P，则必有O，P，B三点共线和A，P，C三点共线；(2)根据O，P，B三点共线可得到点P坐标应满足的关系，再根据A，P，C三点共线即可求得点P坐标．『规律总结』 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：
首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中． 已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值．处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况 典例 4 A B 2．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m,2m＋3)，且a∥b，则m等于( )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2CA
4．(2018·湖南长沙市中学期末)已知a＝(2,1)，b＝(x，－1)且a－b与b共线，则|x|＝______.
[解析] a－b＝(2－x,2)，∵(a－b)∥b，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，解得x＝－2，∴|x|＝2.2 课时作业学案
