第二章 2.4 2.4.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．
2．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为( C )
A．2 B．
C．2 D．4
[解析] a在b方向上的投影为|a|cos?a，b?＝4×cos30°＝2，故选C．
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C )
A．2 B．4
C．6 D．12
[解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72.
∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6.
5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cos?a，b?＝＝＝－，所以?a，b?＝，故选C．
6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
7．已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为____.
[解析] 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
8．已知向量a、b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝__3__.
[解析] |2a－b|＝?(2a－b)2＝10?4＋|b|2－4|b|cos45°＝10?|b|＝3.
三、解答题
9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)(3a)·；
(3)(3b－2a)·(4a＋b)．
[解析] (1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60.
(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36.
(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
[解析] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为
＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·四川绵阳期末)下列命题中错误的是( B )
A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b|
B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b|
D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b|
[解析] 当a⊥b时，a·b＝0也成立，故B错误．
2．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( B )
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
[解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.
3．若非零向量a、b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( A )
A． B．
C． D．π
[解析] 由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝3·(|b|)2－2b2＝b2，所以cos?a，b?＝＝＝，所以?a，b?＝，故选A．
4．已知△ABC中，若 2＝·＋·＋·，则△ABC是( C )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] 由 2－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C．
二、填空题
5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__－__.
[解析] ∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
6．已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为____；|2a－b|＝__2__.
[解析] 由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，
则a·b＝3.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2.
三、解答题
7．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问：当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[解析] ∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
∴k＝.∴当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．
8．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cosθ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7＝0.解得－7当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
∴
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
9．如图，在△ABC中，||＝3，||＝1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．
(1)求·(－)的值；
(2)判断·(－)的值是否为一常数，并说明理由；
(3)若AC⊥BC，求·(＋)的最大值．
[解析] (1)·(－)＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝4.
(2)·(－)的值是一常数.·(－)＝(＋)·(－)＝·(－)＋·(－)＝·(－)＋·＝·(－)＝4.
(3)当AC⊥BC时，BC＝2，AD＝，·(＋)＝·2＝2(·)＝2||||cos0°＝2||||.
设||＝x，则||＝－x，
∴·(＋)＝2x(－x)＝－2(x－)2＋，
∴当x＝时，·(＋)的最大值为.
课件49张PPT。第二章平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主预习学案如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功W可用下式计算：W＝|F||S|cosθ，其中θ是F和S的夹角．那么在数学中如何定义这种向量的乘积呢？
[知识点拨]规定：零向量与任一向量的数量积为零．
关于平面向量数量积的说明：
(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量，不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．
2．(1)投影的概念
①向量b在a的方向上的投影为__________.
②向量a在b的方向上的投影为__________.
(2)数量积的几何意义．
数量积a·b等于a的长度|a|与____________________________的乘积．a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a||b|
[知识点拨]数量积的性质及其应用
性质(1)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；
性质(2)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模；
性质(3)可以解决有关“向量不等式”的问题；
性质(4)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式．4．平面向量数量积的运算律
由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，这种运算涉及长度、角度，因此有如下三条运算律：
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)交换律：__________________；
(2)数乘结合律：__________________________；
(3)分配律：_____________________.a·b＝b·a (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (a＋b)·c＝a·c＋b·c 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)0·a＝0a.( )
(2)若a·b＝0，则a与b至少有一个为零向量．( )
(3)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．( )
(4)若a·c＝b·c(c≠0)，则a＝b.( )
(5)对于任意向量a，都有a·a＝|a|2.( )
(6)一个向量在另一个向量方向上的投影是一个向量．( )××××√×B A 4．(2018·全国卷Ⅱ理，4)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
[解析] a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3.
故选B．B互动探究学案 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[思路分析] 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可． 命题方向1 ?平面向量的数量积典例 1 『规律总结』 求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．〔跟踪练习1〕已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．命题方向2 ?向量的投影典例 2 『规律总结』 注意区分a在b方向上投影的数量|a|cos?a，b?与b在a方向上的投影的数量|b|cos?b，a?两者之间的差异．命题方向3 ?利用向量的数量积解决有关模、夹角问题典例 3
3 利用向量的数量积判断几何图形的形状 典例 4 『规律总结』 依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．B 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求|a＋b|及|a－b|的值．混淆向量的模与实数的运算 典例 5 [错因分析] 该解法错误地类比实数运算中的法则，实际上|a2－b2|＝|(a＋b)·(a－b)|≤|a＋b||a－b|.
[思路分析] 直接利用完全平方和(差)公式．
[误区警示]利用数量积求解模的问题，是数量积的重要应用，解决此类问题的方法是对向量进行平方，即利用公式：a·a＝|a|2，从而达到将向量转化为实数的目的．D 1．若a·c＝b·c(c≠0)，则( )
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等
[解析] 设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，
∵a·c＝b·c，∴|a||c|cosθ1＝|b||c|cosθ2，
即|a|cosθ1＝|b|cosθ2，故选D．D2．下列命题正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b| B．a·b≠0?|a|＋|b|≠0
C．a·b＝0?|a||b|＝0 D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
[解析] 选项D是分配律，正确，A、B、C不正确．DA D 5．已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a与b方向上投影为______.课时作业学案
