第二章 2.4 2.4.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cosθ＝＝.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝×＝.
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，
a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( C )
A．1 B．
C．2 D．4
[解析] 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0.
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.
所以，|a|＝＝＝2.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( C )
A． B．
C．5 D．25
[解析] ∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( D )
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．
二、填空题
7．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__2__.
[解析] 因为a＋b＝(－1，)，
所以|a＋b|＝＝2.
8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__.
[解析] cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值．
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19.
10．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；
(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．
[解析] (1)∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，
＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，
∴·＝3×(－1)＋3×6＝15.
又||＝＝3，||＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝.
(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于( B )
A． B．
C． D．(1,0)
[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝.
方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B．
2．(全国Ⅲ，文)已知向量＝(，)，＝(，)，则∠ABC＝( A )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] 由题意得cos∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，故选A．
3．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( B )
A． B．
C．2 D．10
[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝＝.
4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为( A )
A．－θ B．θ－
C．＋θ D．θ
[解析] 由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
∴a与b的夹角为－θ.
二、填空题
5．已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__2__.
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝，|b|2＝1，
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，
∴t＝2.
6．△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为__3__.
[解析] ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，
∴x≤1，∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
三、解答题
7．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．
[解析] 假设m、n的夹角能为60°，
则cos60°＝，
∴m·n＝|m||n|.①
又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.
∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②
|m||n|＝·＝k2＋1.③
由①②③，得2k＝(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0.
∵该方程无整数解．∴m、n的夹角不能为60°.
8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)设O为坐标原点，＝m(m∈R)，且(－m)∥，求||.
[解析] (1)由两点间的距离公式，得|AB|＝|AC|＝.
∵＝(－2，－1)，＝(－1,2)，
∴·＝2－2＝0，即AB⊥AC．
∴△ABC为等腰直角三角形．
(2)由题可知＝(2,3)，＝(1,3)，
则－m＝(－2－2m，－1－3m)．
又(－m)∥，
则有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－，
由两点间的距离公式，得|OC|＝.
∴||＝.
∴||＝|m|·||＝.
课件34张PPT。第二章平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角自主预习学案
它们对应坐标的乘积的和 x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 [知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cos?a，b?与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos
求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．√ × × √ × C D 互动探究学案 已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．
[解析] 解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，
所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.命题方向1 ?数量积的坐标表示典例 1 解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，
∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，
a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．
∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3
＝－15.『规律总结』 进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.C 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9,12)，c＝(4，－3)，
(1)求|b|与|c|；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[思路分析] (1)根据模长公式求解；(2)根据两向量的夹角公式求解．命题方向2 ?利用坐标运算解决模与夹角的问题典例 2
〔跟踪练习2〕设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量运算的重要应用之一，具体做法就是借助a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0或a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．利用平行、垂直求参数 典例 3 [思路分析] 找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐标表示公式列方程求k即可．『规律总结』 解决本题的关键是要判断△ABC中哪个内角为直角，故应进行分类讨论，不能只认为某个角就是直角，结果只考虑一种情况而导致漏解．〔跟踪练习3〕已知三个点A、B、C的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值． 已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )忽视向量共线致误 典例 4 〔跟踪练习4〕设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．C 2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )
A．{2,3} B．{－1,6}
C．{2} D．{6}
[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，
∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构成的集合是{2}．C3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形A4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．
m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
∵(m＋n)⊥(m－n)，
∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3.B5．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
[解析] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)b＝0·b＝0.课时作业学案