第二章 2.5
A级 基础巩固
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为( C )
A．(5,0) B．(－5,0)
C． D．－
[解析] ∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，
∴|＋|＝＝，故选C．
2．(2018·四川绵阳期末)△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)<0，则△ABC是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定其形状
[解析] 由已知，·(＋－)＝·2<0，
∴角A为钝角，故选C．
3．已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( D )
A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1
C．y2＝2x D．y2＝－2x
[解析] ＝(－2－x，－y)，＝(－x，－y)
则·＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，
∴y2＝－2x.
4．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是( A )
A．5 B．－5
C． D．－
[解析] 由题意，得＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，∴⊥.∴·＝0.
∴2(2－k)＋3×2＝0.∴k＝5.
5．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( D )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
[解析] 由·＝·，
得·－·＝0，
∴·(－)＝0，即·＝0.
∴⊥.同理可证⊥，⊥.
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．
6．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( B )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．40 N
[解析] 如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．
由题意，易知|F|＝|F1|，
|F|＝20 N，
∴|F1|＝|F2|＝10 N.
当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，
此时|F合|＝|F1|＝10 N.
二、填空题
7．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做功的是__－11__J.
[解析] ∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11 J.
8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是__[，π]__.
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，
所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．
三、解答题
9．在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，用向量法证明CD＝AB．
[证明] 如图，设＝a，＝b，
则a与b的夹角为90°，
∴a·b＝0.
又＝b－a，＝(a＋b)，
∴||＝|a＋b|＝
＝＝，
||＝|b－a|＝
＝＝.
∴||＝||.∴CD＝AB．
10．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD．
[解析] ∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
∴⊥.∴AC⊥BD．
B级 素养提升
一、选择题
1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( C )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
[解析] 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( C )
A． B．2
C．5 D．10
[解析] 本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．
由题意知AC，BD为四边形对角线，
而·＝1×(－4)＋2×2＝0，
∴AC⊥BD．
∴S四边形ABCD＝×||×||
＝××
＝××＝5.
3．质点M在三个力F1，F2，F3的共同作用下，从点A(10，－20)移动到点B(30,10)(位移的单位为米)，若以x轴正向上的单位向量i及y轴正向上的单位向量j表示各自方向上1牛顿的力，F1＝5i＋20j，F2＝－20i＋30j，F3＝30i－10j，则F1，F2，F3的合力对质点M所做的功为( B )
A．6 000焦耳 B．1 500焦耳
C．－500焦耳 D．－3 000焦耳
4．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( C )
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
[解析] 由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．
二、填空题
5．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是__60__m，方向是东偏北__60°__.
[解析] 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.
6．作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则|F1＋F2|的大小为____.
[解析] |F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，
所以|F1＋F2|＝.
三、解答题
7．已知：□ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形．
[证明] 设＝a，＝b，
由于四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.∴|a＋b|2＝|b－a|2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2.
∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD．
∴四边形ABCD是矩形．
8．如图所示，已知□ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
[解析] 设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，
则|a|＝3，|b|＝1，θ＝.∴a·b＝|a||b|cosθ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，DB＝.
9．△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线的方程．
[解析] 向量＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A的平分线的一个方向向量为＋＝(，)＋(－，)＝(－，)，则∠A的平分线方程可设为x＋y＋m＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m＝－，整理得7x＋y－29＝0，即∠A的平分线所在直线的方程为7x＋y－29＝0.
课件44张PPT。第二章平面向量2.5 平面向量应用举例自主预习学案
1．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：______________________________.(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：_______________________________.
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2．向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，________________________________________________.
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而____________________________________________________.可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力 可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度 × × √ √ √ √ D 3．下列直线与a＝(2,1)垂直的是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．x＋2y＋1＝0
C．x－2y＋4＝0 D．2x－y＋4＝0
[解析] 由于向量(A，B)与直线Ax＋By＋c＝0垂直，故应选A．AD 互动探究学案 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.求对角线AC的长．
[思路分析] 本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解决．命题方向1 ?向量在平面几何中的应用典例 1
如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围. 命题方向2 ?向量在物理中的应用典例 2 『规律总结』 1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．
2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．
〔跟踪练习2〕两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i、j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：
(1)F1、F2分别对该质点所做的功；
(2)F1、F2的合力F对该质点所做的功．做题时，我们会遇到一些存在性问题、比较复杂的综合问题等等，解决此类问题常常运用坐标法，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．用向量方法探究存在性问题 在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?典例 3 『规律总结』 本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用．〔跟踪练习3〕△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC． 如图所示，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m．求此人对物体所的功．做功问题因对角度认识不清而致错 典例 4 [错因分析] 要求此人对物体所做的功，可以转化为求解作用力F与物体的位移s两者之间的数量积，根据向量数量积的公式，关键是求解作用力F与物体的位移s两者之间的夹角的大小，进而根据公式求得此人对物体所做的功．错解中错误地利用了题目中给出的角度，此角度不是作用力F与物体的位移s两者之间的夹角．〔跟踪练习4〕如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为______J，重力对物体m所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)．0 98 1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
[解析] ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．BD 3．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0A
4．一个物体受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|＝3 N，|F2|＝4 N，则cos?F1，F3?＝__________.课时作业学案
