第三章 3.1 3.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．化简：cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果是( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝cos[(45°－α)＋(α＋15°)]
＝cos60°＝.
2．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( B )
A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
[解析] 由条件cosαcosβ＝－sinαsinβ得
cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，α＝，β＝满足条件．
3．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α－)＝( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] α∈(0，)，sinα＝，cosα＝，
原式＝(cosα·＋sinα·)
＝(cosα＋sinα)＝.
4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin(＋φ)＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( B )
A．－ B．
C． D．
[解析] ∵sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，可解得：
sinθ＝，cosθ＝－＝－，
又∵sin(＋φ)＝－，φ是第三象限角，
cosφ＝－，sinφ＝－＝－，
∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝(－)×(－)＋×(－)＝.
5．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是( B )
A．sin2x B．cos2y
C．－cos2x D．－cos2y
[解析] 原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.
6．已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cosα＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，
∴cos(30°＋α)＝－，
又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－×＋×＝.
二、填空题
7．已知cos(α－)＋sinα＝，则cos(α－)的值是____.
[解析] cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，
cosα＋sinα＝，
∴cos(α－)＝cosα＋sinα＝.
8．已知tanθ＝－，θ∈(，π)，则cos(θ－)的值为____.
[解析] ∵tanθ＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－，
∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin
＝－×＋×＝.
三、解答题
9．已知sin＝，且<α<，求cosα的值．
[解析] ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
10．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
[解析] ∵α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，
∴α＋β∈(，2π)，β－∈(，)，∴cos(α＋β)＝＝，cos(β－)＝－＝－，∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)＝×(－)＋(－)×＝－.
B级 素养提升
一、选择题
1.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形与大正方形面积之比为4﹕9，且直角三角形的两锐角分别为α，β，则cos(α－β)的值为( A )
A． B．
C． D．0
[解析] 设大正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4﹕9，可得小正方形的边长为，
所以有sinα－cosα＝，①
cosβ－sinβ＝，②
由图可得cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，①×②可得＝sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαsinβ＝cos2β－(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋sin2β＝1－cos(α－β)，
解得cos(α－β)＝.
2．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是( A )
A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5
C．3[解析] ∵sinx＋cosx
＝cosxcos＋sinxsin＝cos(x－)＝4－m，
∴cos(x－)＝4－m，∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5.
3．cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由0<β<α<，得0<β－α<，
又cosα＝，cos(α－β)＝，
所以sinα＝＝，
sin(β－α)＝－sin(α－β)＝－＝－，
则cosβ＝cos[(β－α)＋α]
＝cos(β－α)cosα－sin(β－α)sinα
＝×－(－)×
＝.
所以β＝.
4．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为( D )
A． B．
C． D．－
[解析] 由已知，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2＝1，
所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1.
所以cos(α－β)＝－.
二、填空题
5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝____.
[解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]
＝cos30°＝.
6．已知cos＝cosα，则tanα＝____.
[解析] cos＝cosαcos＋sinαsin
＝cosα＋sinα＝cosα，
∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝.
三、解答题
7．已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
[解析] 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<，
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝0.
8．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α、β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，
求f(α－β)的值．
[解析] (1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．将点M(，)代入，得sin(＋φ)＝.而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
(2)由题意，有cosα＝，cosβ＝.
∵α、β∈(0，)，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝，
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
课件41张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式自主预习学案
两角差的余弦公式
(1)cos(α－β)＝___________________________.
(2)此公式简记作C(α－β)．
[知识点拨]对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正符号相反”记忆公式．cosαcosβ＋sinαsinβ 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.( )
(2)对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cosα－cosβ.( )
(3)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.( )
(4)当α，β为锐角时，必有cos(α－β)>cosαcosβ.( )××√√D B C 互动探究学案 (1)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝______.
(2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝______.
(3)求值：cos15°＝____________.
[思路分析] 尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用Cα－β进行求值．命题方向1 ?两角差的余弦公式的正用和逆用典例 1 『规律总结』 运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．命题方向2 ?给值求值典例 2
给值求角 典例 3 『规律总结』 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误 典例 4 [错因分析] 错解的原因是忽略了角的范围，误认为α－β是锐角．C C C
4．sin(α－β)sinα＋cos(α－β)cosα＝____________.
[解析] 原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cosβ.cosβ 课时作业学案
