第三章 3.1 3.1.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由条件可知cosA＝，sinA＝，sinB＝，cosB＝，∴sin(A－B)＝sinA·cosB－cosA·sinB＝×－×＝.
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] cos(α＋)＝(cosα·－sinα·)＝－＝.
3．cos的值等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] cos＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝.
4.cos－sin的值是( B )
A．0 B．
C．－ D．2
[解析] cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝.
5．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为( A )
A．cosx B．sinx
C．cos(x＋y) D．cos(x－y)
[解析] 原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)· siny＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny＝cosx.
6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
二、填空题
7．sin15°＋sin75°的值是____.
[解析] sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝.
8．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ＝__－__.
[解析] 由sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，得
sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，又β为第三象限角，
cosβ＝－＝－＝－.
三、解答题
9．化简求值：
(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)
[解析] (1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
10．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值．
[解析] cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－，
∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin
＝－×－×＝－.
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
[解析] 由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，
∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，
∴△ABC是直角三角形．
2．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( B )
A． B．
C．或 D．－
[解析] ∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，
又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，
由sinα＝得，cosα＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B．
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为( A )
A．0 B．
C．0或 D．0或±
[解析] 由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
4.( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析]
＝
＝
＝＝sin30°＝.
二、填空题
5．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝__－__.
[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝×－×＝－.
6．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝____.
[解析] 由已知，得
即解得
所以tanα·tanβ＝＝.
三、解答题
7．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．
[解析] (1)∵|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝，
又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
又sinβ＝－，∴cosβ＝，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
8．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α、 β∈(0，)．求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解析] (1)因为α、 β∈(0，)，
所以α－β∈(－，)，又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<，
所以sinα＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.
课件39张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦自主预习学案变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦余弦之间又有怎样的变换呢？
和角、差角公式如下表：sinαcosβ－cosαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ sinαcosβ＋cosαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ [知识点拨]1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点
(1)公式中的α、β均为任意角．
(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例．
(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
2．使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.这也体现了数学中的整体原则．√ × × ×
2．sin(30°＋45°)＝____________.3．cos55°cos5°－sin55°sin5°＝______.互动探究学案命题方向1 ?公式的正用与逆用典例 1 『规律总结』 公式的巧妙运用
①顺用：如本题中的(2)；②逆用：如本题中的(1)；③变用：变用涉及两个方面，一个是公式本身的变用，如cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ，一个是角的变用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，从某种意义上来说，是一种整体思想的体现，如cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.这些需要在平时的解题的中多总结，多研究，多留心．命题方向2 ?给值求值0 典例 2 『规律总结』 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．辅助角公式及其运用 典例 3 B A 由于角的范围过大致误 典例 4 由于0°<α<90°，0°<β<90°，
所以0°<α＋β<180°，故α＋β＝45°或135°.
[误区警示]此类题目是给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．A C A B 5．(2018·全国卷Ⅱ理，15)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.课时作业学案第三章 3.1 3.1.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1.＝( A )
A． B．
C．1 D．－
[解析] 原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.
2．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)＝( A )
A． B．7
C．－ D．－7
[解析] ∵α∈(，π)，∴sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝＝－，∴tan(α＋)＝＝＝，故选A．
3．tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan2α＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝.
4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于( C )
A．2 B．1
C． D．4
[解析] ∵tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，
∴＝4?tanαtanβ＝.
5．在△ABC中，若0
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
[解析] ∵0∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cosA<0，∴A为钝角．
6．在△ABC中，tanA＝，cosB＝，则tanC＝( A )
A．－1 B．1
C． D．－2
[解析] ∵cosB＝，∴B为锐角．
∴sinB＝＝＝，
∴tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－1.故选A．
二、填空题
7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为____.
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
8．tan70°＋tan50°－tan50°tan70°＝__－__.
[解析] ∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)
＝－＋tan50°·tan70°
∴原式＝－＋tan50°·tan70°－tan50°·tan70°
＝－.
三、解答题
9．已知sinα＝－且α是第三象限角，求tan(α－)的值．
[解析] ∵sinα＝－且α是第三象限角，
∴cosα＝－＝－＝－.
∴tanα＝＝3.
∴tan(α－)＝＝＝.
10．设tanα＝，tanβ＝，且α、β都是锐角，求α＋β的值．
[解析] tan(α＋β)＝＝＝1.
又∵α、β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知α∈(－，)，tan(α－)＝－3，则sinα＝( A )
A． B．－
C． D．±
[解析] tanα＝tan[(α－)＋]
＝＝－，∵α∈(，)，
∴α∈(，π)，∴sinα＝＝，故选A．
2．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( B )
A．－ B．
C． D．－
[解析] 由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，
可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，cosC＝.
3．已知α＋β＝，且α、β满足(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，则tanα等于( D )
A．－ B．
C．－ D．3
[解析] ∵(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，
∴tanαtanβ＋3(tanα＋tanβ)＝tanα－2①
∵tan(α＋β)＝＝，
∴3(tanα＋tanβ)＝(1－tanαtanβ)，②
将②代入①得＝tanα－2，∴tanα＝＋2＝3.
4．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝
＝＝，
即＝，
∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，
∵0∴这个三角形为直角三角形，故选B．
二、填空题
5．已知tan＝，tan＝－，则tan＝____.
[解析] tan＝tan
＝＝.
6．已知△ABC中，tanAtanB－tanA－tanB＝.则C的大小为____.
[解析] 依题意：＝－，
即tan(A＋B)＝－，又0∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝.
三、解答题
7．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，求：
(1)tan(α＋β－)；
(2)tan(α＋β)．
[解析] (1)tan(α＋β－)＝tan[(α＋)＋(β－)]
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝
＝＝2－3.
8．(2019·广西钦州高三质检)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，求tanAtanBtanC的取值范围．
[解析] 由sinA＝sin(π－A)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，sinA＝2sinBsinC，可得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC．①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0，cosC>0，
在①式两侧同时除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝2tanBtanC．
又tanA＝－tan(B＋C)＝－，
则tanAtanBtanC＝－·tanBtanC
＝－.②
令tanBtanC＝t，由A，B，C为锐角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0.由②式得1－tanBtanC<0，解得t>1，
tanAtanBtanC＝－＝－＝－.
∵t>1，∴0<<1，∴(－)2－∈[－，0)．
∴－∈[8，＋∞)．
∴tanAtanBtanC的取值范围是[8，＋∞)．
课件45张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第2课时 两角和与差的正切自主预习学案
× √ × × B B 1 互动探究学案命题方向1 ?公式正用典例 1
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①由任意角三角函数的定义可求cosα、cosβ；
②α＋2β＝(α＋β)＋β.
解答本题可先由任意角三角函数定义求cosα、cosβ，再求sinα、sinβ，从而求出tanα、tanβ，然后利用公式Tα＋β，求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)得到α＋2β的值．『规律总结』 此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．A C 求下列各式的值：命题方向2 ?公式的逆用及变形应用典例 2 [思路分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．
典例 3 『规律总结』 本题属于开放性问题，需要认真分析条件，对分析问题，解决问题的能力要求较高．〔跟踪练习3〕已知tanα，tanβ都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．忽略角的范围而致误 典例 4 B B C B A 课时作业学案