第三章 3.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( A )
[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A．
2．(2019·广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为( C )
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
[解析] 依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．
3．(2019·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为( D )
A． cm B． cm
C． cm D． cm
[解析] 设圆锥的高为x cm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(00，当4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为( D )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
[解析] 设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为＝16(m2)，箱底另一边的长度为m，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×)×12＝240＋72，l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．
5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产( A )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
[解析] 设利润为y(万元)，则
y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，
y′＝36x－6x2，
令y′>0，得06，
∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．
6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( C )
A． B．
C． D．2
[解析] 如图，设底面边长为x(x>0)，
则底面积S＝x2，∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2，
S′表＝x－，令S′表＝0得x＝，
因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
二、填空题
7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__20__吨．
[解析] 设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，
令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故x＝20时， f(x)最小．
8．等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝__80__时，等腰梯形面积最大．
[解析] 如图，设∠A＝θ，则h＝AD·sinθ，
AB＝40＋2ADcosθ，
故S＝AD·sinθ(40＋40＋2ADcosθ)
＝20(80＋80cosθ)sinθ
＝1 600(1＋cosθ)sinθ.
S′＝1 600[cosθ(1＋cosθ)－sinθsinθ]，
令S′＝0，得cosθ＝－1或cosθ＝.
因为0<θ<，所以cosθ>0，所以cosθ＝，
即θ＝时，等腰梯形的面积最大，
此时AB＝40＋2×40×＝80.
三、解答题
9．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
[解析] 设水箱底边长为x cm，
则水箱高为h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝60x2－(0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.
当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：
x
(0,80)
80
(80,120)
V′(x)
＋
0
－
因此在x＝80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．
将x＝80代入V(x)，得最大容积
V＝802×60－＝128 000(cm3)．
答：水箱底边长取80 cm时，容积最大，最大容积为128 000 cm3.
B级 素养提升
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( D )
A．150 B．200
C．250 D．300
[解析] 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x≤300时，p′(x)>0；当3002．(2019·泰安高二检测)已知某个车轮旋转的角度α(弧度)与时间t(秒)的函数关系是α＝t2(t≥0)．则车轮启动后1.6秒时的瞬时速度为( B )
A．20π弧度/秒 B．10π弧度/秒
C．8π弧度/秒 D．5π弧度/秒
[解析] α′＝，
∴车轮启动1.6秒时的瞬时速度为：×1.6＝10π.
故选B.
3．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( B )
A．16 m,16 m B．32 m,16 m
C．32 m,8 m D．16 m,8 m
[解析] 如图所示，设场地一边长为x m，
则另一边长为 m.
因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴x＝16必是最小值点．
∵x＝16，∴＝32.
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
4．(2019·山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是( C )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
[解析] y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8.当6≤t<8时，y′>0；当85．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( C )
A．R B．2R
C．R D．R
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝r2h＝h(2Rh－h2)＝Rh2－h3，
V′＝Rh－πh2.令V′＝0得h＝或h＝0(舍去)．
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．故选C．
二、填空题
6．(2019·沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为__0.032__.
[解析] 用y表示银行的收益，由题可知存款量是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0.048kx2.
∴y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)
y′＝0.096x－3kx2＝3kx(0.032－x)
令y′＝0，解x＝0.032或x＝0(舍)
当00，
当0.032∴当x＝0.032时，y取极大值，也是最大值．
7．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为__0.5m__.
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，
由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5 m.
三、解答题
8．(2019·滁州民办高中检测)某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．
[解析] (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x)，月平均销售量为a(1－x2)件，
则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，
∴y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝，x2＝－(舍)
当00；∴函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0故改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋)＝30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大．
课件52张PPT。第三章导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例自主预习学案现实生活中，当汽车行驶距离一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗量最少或每升汽油能够使汽车行驶最长的路程．
如何使汽油的使用效率最高？
1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．
2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是________点．
3．解决优化问题的基本思路：自变量 最优 函数 导数 1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6C C D 4．在周长为l的矩形中，面积的最大值为______.互动探究学案命题方向1 ?利润最大问题典例 1
(1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)
[思路分析] (1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x－2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．『规律方法』 利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．命题方向2 ?费用(用料)最省问题典例 2[思路分析] (1)汽车的耗油量关于行驶速度x的函数解析式是什么？其定义域是什么？(2)利用什么方法求出上述函数的最小值？『规律方法』 本题属于费用最低问题，此种类型的题目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式，利用导数求其最值时，要注意函数的定义域的限制．命题方向3 ?面积、容积最大问题 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？典例 3『规律方法』 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．其基本流程是
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．〔跟踪练习3〕
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．解决优化问题的注意事项解决生活中的优化问题应注意以下几点：
(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式．
(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域，忽视定义域易造成错解．
(3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大(小)值．
(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去，例如：长度、宽度、销售价格应为正数．
(5)对实际应用问题能够进行数学建模，但在问题解决的过程中，如果含有字母参数，那么要注意分类讨论．在分类讨论的过程中，如果在定义域内f′(x)>0(或f′(x)<0)，那么可以直接根据单调性求最值．如果在定义域内f′(x)＝0有解，那么在极值点或端点处可取最值．如果采用换元法，那么要注意新变量的取值范围． 从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁去一小块边长为x的正方形(如图)，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t，那么x取何值时，容积V有最大值？典例 4『规律方法』 解决优化问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规则法、配方法、数形结合法和单调性法等．不少优化问题可以化为求函数的最值问题，导数方法是解决这类问题的有效方法．含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系 甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？典例 5C [解析] 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f′(x)min＝－1.A
3．把长为60 m的铁丝围成矩形，当长为______ m，宽为______ m时，矩形的面积最大．
4．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，体积为72 cm3，其底面两邻边长为1∶2，则它的长为_____，宽为_____，高为_____时，可使表面积最小．
15 15 6 3 4 5．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8
