第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线x2－5y2＝5的焦距为( B )
A． B．2
C．2 D．4
[解析] 双曲线方程化为标准方程为－y2＝1，∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2＋b2＝6，∴c＝.∴焦距为2c＝2.
2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
[解析] ∵抛物线过点(－4,4)，
∴设其方程为：y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，将(－4,4)代入可得p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x或x2＝4y.
3．若椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为( D )
A．5 B．3
C．2 D．2
[解析] 由题意得9－m2＝1，∴m2＝8，又m>0，
∴m＝2.
4．(2018·全国Ⅱ文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( D )
A．1－ B．2－
C． D．－1
[解析]
在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，
由椭圆的定义可知，方程＋＝1中，2a＝1＋，
2c＝2，
得a＝，c＝1，
所以离心率e＝＝＝－1.
故选D.
5．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由条件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝＝.
6．如果点P(2，y0)在以点F为焦点的抛物线y2＝4x上，则|PF|＝( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 根据抛物线的定义点P到点F的距离等于点P到其准线x＝－1的距离d＝|2－(－1)|＝3，故C正确．
7．(2019·泰安二模)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1|＋|PF2|＝4a，则双曲线的离心率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意得，PF1⊥PF2，因此|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴＝|F1F2|2，∴＝(2c)2，∴e2＝，e＝，故选D.
8．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( B )
A．3 B．6
C．9 D．12
[解析] 如图：
∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆E的右焦点为(2,0)，∴c＝2，
∵＝，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝12.
∵抛物线的准线为x＝－2，
∴|AB|＝＝＝6.
9．(2018·天津文，7)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( A )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析]
设双曲线的右焦点为F(c,0)．
将x＝c代入－＝1，得－＝1，
∴ y＝±.
不妨设A，B.
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
则d1＝＝＝(c－b)，
d2＝＝＝(c＋b)，
∴ d1＋d2＝·2c＝2b＝6，∴ b＝3.
∵ ＝2，c2＝a2＋b2，∴ a2＝3，
∴ 双曲线的方程为－＝1.
故选A．
10．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( A )
A．6 B．5
C．4 D．3
[解析] 由椭圆方程可知，a2＝16，∴a＝4.
在△ AF1B中，由椭圆定义可知周长为4a＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.
11．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋相切，则C的离心率为( A )
A． B．
C．2 D．
[解析] 由题意得，联立直线与抛物线得x2－kx＋＝0，由Δ＝0得k＝±，即＝，所以e＝＝，故选A．
12．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( C )
A． B．2
C．2 D．3
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2019·广东河源市高二检测)抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为__2__.
[解析] 如图所示，
F为抛物线x2＝4y的焦点，直线y＝－1为其准线，过点P作准线的垂线，垂足为A且交x轴于点B.
∵|PF|＝3，∴|PA|＝3，∴|PB|＝2.
∴点p的纵坐标为2.
设P(a,2)(a<0)则a2＝4×2，a＝－2，
即p到y轴的距离为2.
14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为____.
[解析] ∵AB＝2c＝4，∴c＝2.
又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.
∴椭圆离心率为＝.
15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为__y＝±x__.
[解析]
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，
即y1＋y2＝p，
∴＝p，
即＝，
∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
16．(2019·山东潍坊高二期末)给出下列四个命题：
①已知P为椭圆＋y2＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|·|PF2|的范围是[3,4]；
②已知M是双曲线－＝1上任意一点，F2是双曲线的右焦点，则|MF2|≥1；
③已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F，且l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＋4y1y2＝0；
④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，若静放在点F1的小球(小球的半径忽略不计)从点F1沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的路程恰好是4a.其中正确命题的序号为__②③__(请将所有正确命题的序号都填上)．
[解析] ①椭圆＋y2＝1的a＝2，b＝1，c＝，e＝＝，设P的横坐标为m，
由焦半径公式可得，则|PF1|·|PF2|＝(2＋m)(2－m)＝4－m2，由－2≤m≤2，
可得所求范围是[1,4]，故①错误；
②已知M是双曲线上任一点，若M在双曲线左支上，可得|MF2|≥5；
若M在双曲线右支上，可得|MF2|≥1，故②正确；
③已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F，设直线l的方程为y＝kx＋，代入抛物线的方程可得x2－2pkx－p2＝0，且l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，可得x1x2＝－p2，y1y2＝＝，则x1x2＋4y1y2＝0，故③正确；对于④，假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：
(1)球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(a－c)；
(2)球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(a＋c)；
(3)球从A不沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，
再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点A，此时小球经过的路程是4a.
综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，
小球经过的路程是4a或2(a－c)或2(a＋c)．故④错误．
故答案为②③.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(安徽省安庆市2018－2019学年高二调研)求焦点在直线x－y＋2＝0上的抛物线的标准方程．
[解析] 因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，
所以其焦点坐标即为直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点，
所以其焦点坐标为(－2,0)和(0,2)
当焦点为(－2,0)时，可知其方程中的p＝4，
所以其方程为y2＝－8x，
当焦点为(0,2)时，可知其方程中的p＝4，
所以其方程为x2＝8y，
故所求方程为y2＝－8x或x2＝8y.
18．(本题满分12分)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析] (1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝，
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组，
消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
19．(本题满分12分)(2018·全国Ⅲ文，20)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．
(1)证明：k＜－.
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0，证明：2||＝||＋||.
[解析] (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.
由题设得0(2)证明：由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝，从而P，
||＝.
于是||＝＝ ＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||.
20．(本题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(，1)，离心率e＝，直线l与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，向量m＝(ax1，by1)、n＝(ax2，by2)，且m⊥n.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)时，求直线l的斜率k.
[解析] (1)由条件知，解之得.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)依题意，设l的方程为y＝kx＋，
由，消去y得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0，
显然Δ>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得，
a2x1x2＋b2y1y2＝4x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(4＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝(k2＋4)(－)＋k·＋3＝0，解得k＝±.
21．(本题满分12分)(2018·浙江，21)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
[解析] (1)解：设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，
所以y1，y2为方程2＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．
所以y1＋y2＝2y0，
因此，PM垂直于y轴．
(2)解：由(1)可知
所以|PM|＝－x0＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
因此，△PAB的面积
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).
因为x＋＝1(－1≤x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，
因此，△PAB面积的取值范围是.
22．(本题满分12分)(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
[解析] (1)解：由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．
课件63张PPT。第 二 章圆锥曲线与方程章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合1．坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．
2．利用圆锥曲线的定义解题的策略
(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．3．圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程．重在考查基础知识，基本思想方法，属于低中档题目，其中对离心率的考查是重点．
4．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法，直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．
5．求轨迹方程的方法常用的有：直接法、定义法、代入法，要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件的发掘，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常用判别式法；要注意有关弦长问题中韦达定理的应用，需特别注意的是，直线平行于抛物线的轴时与抛物线只有一个交点，直线平行于双曲线的渐近线时与双曲线只有一个交点．
6．椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表
专 题 突 破题型一 ?圆锥曲线定义的应用典例 1典例 2 已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．典例 3『规律方法』 求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．题型二 ?直线与圆锥曲线的位置关系典例 4典例 5[思路分析] (1)根据椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点和椭圆过点P，建立关系a、b的方程组求解；(2)联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系即可证明．典例 6题型三 ?“中点弦”问题典例 7 已知双曲线C：2x2－y2＝2，点Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在．典例 8题型四 ?定点、最值问题典例 9典例 10A [解析] ∵a2＝20，b2＝5，∴c2＝25，∴c＝5.A D 4．如图，经过点P1、P2、P3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为e1、e2、e3，则 ( )
A．e3B．e1C．e3D．e2
