第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( A )
A．k1>k2 B．k1
C．k1＝k2 D．不确定
[解析] y＝sin x，y′＝cos x，∴k1＝cos 0＝1，k2＝cos＝0，k1>k2.
2．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为( B )
A．4 B．－4
C．1 D．－1
[解析] y′＝(xα)′＝αxα－1，
由条件知，y′|x＝1＝α＝－4.
3．(2019·全国Ⅱ卷文，8)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )
A．2 B．
C．1 D．
[解析] 由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，
T＝－，∴ T＝π，∴ ＝π，∴ ω＝2.
故选A．
4．函数y＝12x－x3的单调递增区间为( C )
A．(0，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－2,2) D．(2，＋∞)
[解析] y′＝12－3x2＝3(4－x2)＝3(2＋x)(2－x)，令y′>0，得－25．(2019·福建宁德市高二检测)曲线f(x)＝在x＝e处的切线方程为( A )
A．y＝ B．y＝e
C．y＝x D．y＝x－e＋
[解析] f′(x)＝，∴f′(e)＝＝0，
∴曲线在x＝e处的切线的斜率k＝0.
又切点坐标为(e，)，∴切线方程为y＝.
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.
7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是( A )
A．m<0 B．m<1
C．m≤0 D．m≤1
[解析] f ′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，f(x)不是三次函数(舍)；当m≠0时，由题意得m<0，综上可知m<0.
8．(2019·青岛高二检测)下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( B )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosx
C．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝
[解析] 对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sinx，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cosx在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cosx－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.
9．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( B )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
[解析] 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，，即，
解得，
∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B.
10．(2019·全国Ⅲ卷文，7)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( D )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴ 切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵ 切线方程为y＝2x＋b，
∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D.
11．已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( C )
[解析] ∵x＝－2时， f(x)取得极小值，∴在点(－2,0)左侧，f′(x)<0，∴xf′(x)>0，在点(－2,0)右侧f′(x)>0，∴xf′(x)<0，故选C．
12．已知f(x)＝x3－3x，过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围是( D )
A．(－1,1) B．(－2,3)
C．(－1,2) D．(－3，－2)
[解析] 设切点为(t，t3－3t)，f′(x)＝3x2－3，则切线方程为y＝(3t2－3)(x－t)＋t3－3t，整理得y＝(3t2－3)x－2t3.把A(1，m)代入整理，得2t3－3t2＋m＋3＝0 ①.因为过点A可作三条切线，所以①有三个解．记g(t)＝2t3－3t2＋m＋3，则g′(t)＝6t2－6t＝6t(t－1)，所以当t＝0时，极大值g(0)＝m＋3，当t＝1时，极小值g(1)＝m＋2.要使g(t)有三个零点，只需m＋3>0且m＋2<0，即－3二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2018·全国Ⅱ卷文，13)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为__y＝2x－2__.
[解析] 因为y′＝，y′＝2，
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
14．(2019·南开区二模)已知f(x)＝x(2016＋lnx)，f ′(x0)＝2017，则x0＝__1__.
[解析] f ′(x)＝2016＋lnx＋1＝2017＋lnx
又∵f ′(x0)＝2017，∴f ′(x0)＝2017＋lnx0＝2017，
则lnx0＝0，x0＝1.
15．(2019·海淀区校级期末)已知函数f(x)＝x2－2lnx，则f(x)的最小值为__1__.
[解析] 函数的定义域(0，＋∞)
f ′(x)＝2x－2·＝＝
令f ′(x)≥0?x≥1; f ′(x)≤0?0＜x≤1
所以函数在(0,1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增
所以函数在x＝1时取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1
故答案为1.
16．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__a<－1__.
[解析] ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0.
由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．
∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．
∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.
∴a<－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f ′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)．
[解析] 由f(2x＋1)＝4g(x)，
得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
由f ′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c，③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
由①③可得a＝c＝2，由④得b＝－5，
再由②得d＝－，∴g(x)＝x2＋2x－.
故g(4)＝16＋8－＝.
18．(本题满分12分)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值．
[解析] 设直线与曲线y＝x3的切点坐标为(x0，y0)，
由题意得，
解得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线的斜率k＝0，
∴切线方程为y＝0.
由，得ax2＋x－9＝0.
Δ＝()2＋36a＝0，解得a＝－.
当x0＝时，k＝，
其切线方程为y＝(x－1)．
由，得ax2－3x－＝0.
Δ＝(－3)2＋9a＝0，解得a＝－1.
综上可知a＝－1或a＝－.
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
[解析] ∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)
＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
(1)当a>0时，<，则随着x的变化，
f′(x)、 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
∴当a＝时，函数取得极大值f()＝；
当x＝时，函数取得极小值f()＝0.
(2)当a<0时，<，则随着x的变化，
f′(x)、 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
∴当x＝时，函数取得极大值f()＝0；
当x＝时，函数取得极小值f()＝.
综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f()＝，在x＝处取得极小值f()＝0；
当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f()＝0在x＝处取得极小值f()＝.
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
[解析] (1)f ′(x)＝a2x2－4ax＋b，
由题意f ′(0)＝b＝3.
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，
∴f ′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
①当a＝1时，f ′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
x、f ′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f ′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，
x、f ′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.
21．(本题满分12分)(2019·全国Ⅲ文，20)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0[解析] (1)解：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)解：当0于是m＝－＋2，M＝
所以M－m＝
当0所以M－m的取值范围是.
当2≤a<3时，单调递增，
所以M－m的取值范围是.
综上，M－m的取值范围是.
22．(本题满分12分)某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N＋，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N＋，且1≤x≤19)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，
∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12，
∴当00，当x>12时，P′(x)<0，
∴x＝12时，P(x)有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305.
所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，
所以单调减区间为[1,19]，且x∈N＋.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少．
课件44张PPT。第 三 章导数及其应用章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合专 题 突 破题型一 ?导数的几何意义由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．因此关于曲线的切线问题可用导数的方法解决．典例 1[思路分析] 因为切线与直线y＝－2x＋3垂直，可知其斜率，进而可由导数求出切点的横坐标．『规律方法』 根据导数的几何意义知，函数的导数就是曲线在该点的切线斜率，利用斜率求出切点的坐标，再由点斜式求出切线方程．题型二 ?判断函数的单调性，求函数的单调区间 求函数y＝x3＋ax(x∈R)的单调区间．典例 2典例 3题型三 ?函数的极值与最值典例 4典例 5[解析] (1)解：因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.题型四 ?导数的实际应用典例 6已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
[思路分析] (1)要求每天的盈利额，首先将次品率转化为正品率计算正品的产量，再乘以每件产品的利润即可表示出每天的盈利额．
(2)要求日盈利额的最大值，则首先求出T′＝0时的日产量，再讨论c的范围，从而确定日产量的取值．题型五 ?导数的综合应用典例 7B D 3．如图，过函数y＝xsin x＋cos x图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为 ( )A C C 二、填空题
6．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为_____.
[解析] 由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3.3
9．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．
[思路分析] (1)求出g(x)的导数，就a的不同取值，讨论导数的符号；(2)f′(x)＝ln x－2a(x－1)，使用数形结合方法确定a的取值，使得在x<1附近f′(x)>0，即ln x>2a(x－1)，在x>1附近ln x<2a(x－1)．