第一章 1.1 1.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列语句中，是命题的是( A )
A．π是无限不循环小数 B．3x≤5
C．什么是“绩效工资” D．今天的天气真好呀！
[解析] 由命题的定义可知，选项A正确．
2．语句“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”( B )
A．不是命题 B．是真命题
C．是假命题 D．是命题，但真假与x的取值有关
[解析] 当a>1时，指数函数f(x)＝ax是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”是真命题．
3．下列语句中，不能成为命题的是( B )
A．5>12
B．x>0
C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条中线交于一点
[解析] A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．
4．下列命题正确的是( D )
A．三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面 D．不共面的四点可以确定四个平面
[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．
5．(2019·山东潍坊高二期末)已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是( D )
A．若a>b，则> B．若aC．若<，则a>b D．若a3>b3，则a>b
[解析] 选项A中，a>b得不出>，比如，a＝4，b＝－2时；
选项B中，m＝0时，a选项C中，<得不出a>b，比如，a＝－2，b＝4；
选项D中，∵y＝x3是增函数，∴a3>b3得出a>b.
故选D.
6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是( B )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.
二、填空题
7．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；
③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.
[解析] c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．
对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．
8．(2018·北京文，11)能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为__1，－1(答案不唯一)__.
[解析]
只要保证a为正b为负即可满足要求．
当a＞0＞b时，＞0＞.
三、解答题
9．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)指数函数是增函数吗？
(2)x>；
(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)请把窗户关上；
(5)8>7；
(6)这是一棵大树．
[解析] (1)是疑问句，所以不是命题．
(2)(6)不能判断真假，不是命题．
(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．
(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．
B级 素养提升
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( A )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
[解析] A为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．
2．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么下列命题正确的是( D )
A．若l⊥m，l⊥n，m?α且n?α，则l⊥α
B．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥α
C．若m∥β，n∥β，m?α且n?α，则 α∥β
D．若α∥β，l⊥α，m∥l且n?β，则m⊥n
[解析] 对于A需直线m与n相交，对于B需直线m?β，对于C需直线m，n相交，所以A，B，C都不正确，故选D.
3．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，c≠0，则ac>bc；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( A )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①中，当x＝1，y＝0时，xy＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a＝2，b＝1，c＝－1，则ac＝－2，bc＝－1，ac4．下列命题中的假命题是( B )
A．若log2x<2，则0B．若a与b共线，则a与b的夹角为0°
C．已知非零数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．点(π，0)是函数y＝sin x图象上一点
[解析] B中当a与b共线，但方向相反时，a与b的夹角为180°，所以B是假命题．
5．(2019·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为( C )
①函数y＝x2－3x＋1的图象关于x＝对称；②若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最大值为；③若△ABC为锐角三角形，则sin A>cos B．
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
[解析] ①由y＝2－知①正确，②表示平面直角坐标系中(x，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C．
二、填空题
6．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是__0__.
[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，
∴命题①不正确；
∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；
∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；
∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．
综上所述，真命题的个数为0.
7．(2019·北京文，13)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__②③?①(或①③?②)__.
[解析] ②③?①.证明如下：∵m∥α，∴ 根据线面平行的性质定理，知存在n?α，使得m∥n.
又∵ l⊥α，∴ l⊥n，∴ l⊥m.
①③?②.证明略．
三、解答题
8．在△ABC中，若·>0，则△ABC是什么三角形．
[解析] ∵·>0，∴·<0，∴∠B为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
9．将命题“已知a、b为正数，当a>b时，有>”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．
[解析] 根据题意，“若p，则q”的形式为：
已知a、b为正数，若a>b，则>.
其中条件p：a>b，结论q：>.
课件38张PPT。第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2.2
世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：
唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王．他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死．
对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架．有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？
一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的．”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？
如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话．既然他说错了，就应该被处绞刑．但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩．
小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏．他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废．1.1 命题及其关系1.1.1 命 题自主预习学案
1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题．
2．判断为真的语句叫__________，判断为假的语句叫__________.
3．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有________之分，而定理是______命题．
4．命题常写成“____________”的形式，其中命题中的p叫做命题的________，q叫做命题的________.判断真假 真命题 假命题 真假 真 若p，则q 条件 结论 A [解析] 根据命题的定义知，选项A不是命题．
2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是 ( )
A．不是命题 B．真命题
C．假命题 D．不能判断真假
[解析] a>b?a＋c>b＋c成立，故选B.
B 3．由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写的命题是真命题的是 ( )
A．若一个数不能被6整除，则这个数不一定能被3整除
B．若一个数能被6整除，则这个数一定能能被3整除
C．若一个数能被6整除，则这个数不一定能被3整除
D．若一个数不能被6整除，则这个数一定能被3整除
[解析] 由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写为“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则这个数一定能被3整除，故选B.
B
4．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是 ( )
A．余弦值 B．第二象限
C．一个角是第二象限角 D．没有条件
[解析] 命题可改写为：若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C．
C 5．下列语句：
①mx2－x＋1＝0是一元二次方程；
②你是高中生吗？
③互相包含的两个集合相等；
④全等三角形的面积相等；
⑤抛物线x2－mx－1＝0与x轴至少有一个交点．
其中是命题的序号为____________；真命题的序号为__________.
[解析] 由命题的定义可知①③④⑤是命题．①中当m＝0时，方程mx2－x＋1＝0不是一元二次方程，故为假命题；③④是真命题；⑤中Δ＝m2＋4>0，所以抛物线x2－mx－1＝0与x轴有两个交点，故为真命题．①③④⑤ ③④⑤ 互动探究学案命题方向1 ?命题概念的理解典例 1[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．
[解析] (1)是祈使句，不是命题．
(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，对于x∈R，可以判断为真，它是命题．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是命题，可以判断为真．人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．
『规律方法』 判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：
1．必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．
2．其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．〔跟踪练习1〕
判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)函数y＝cos x是周期函数吗？
(4)集合{a，b，c}有3个子集．
[解析] (1)是命题，满足指数函数的定义．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)不是命题，是疑问句．
(4)是命题．符合命题的定义．命题方向2 ?命题真假的判断典例 2[思路分析] 运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．『规律方法』 1.命题真假的判定方法
真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断．
要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
2．一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．3．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A?B时满足．〔跟踪练习2〕
(2019·山西太原高二期末)下列命题是真命题的是 ( )
A．4∈{2,3}且2∈{2,3}
B．1是奇数且1是素数
C．2是偶数或3不是素数
D．周长和面积相等的两个三角形全等
[解析] A中，4?{2,3}，故A错；B中1不是素数，故B错；C中“2是偶数”是真，“3不是素数”为假，所以“2是偶数或3不是素数”为真；D中周长或面积相等的两个三角形都不一定全等，所以D错．故选C．C 命题方向3 ?命题结构分析 指出下列命题的条件与结论．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．
解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．
典例 3
[解析] (1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．
(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．
条件为：“一个四边形是正方形”；
结论为：“这个四边形的四条边相等”．
〔跟踪练习3〕
把下列命题表示为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)相似三角形的面积相等；
(2)平行于同一个平面的两平面平行；
(3)正弦函数是周期函数．
[解析] (1)若两个三角形相似，则它们的面积相等．假命题．
(2)若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面平行．真命题．
(3)若一个函数为正弦函数，则它是周期函数．真命题．命题的真假与其他知识的综合应用 命题的概念中有两个要点：①陈述句；②可以判断真假．利用这两点可借助于函数的奇偶性、单调性、对称关系来解决一些开放性问题． 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．
若函数f(x)＝3＋log2x(x>0)的图象与g(x)的图象关于_______对称，则函数g(x)＝___________________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
[思路分析] 本题答案不唯一．空中可以依次填入x轴，－3－log2x(x>0)．
[解析] 若函数f(x)与g(x)的图象关于x轴对称，则可将函数y＝f(x)＝3＋log2x(x>0)中的(x，y)用(x，－y)代换，得－y＝3＋log x(x>0)，所以g(x)＝－3－log2x(x>0)．典例 4x轴 －3－log2x(x>0) 『规律总结』 解答此类题目，首先要审清题意，弄明白求什么，然后根据所学知识选择合适的答案． 〔跟踪练习4〕
已知p：5x－1>a，q：x>1，请选择适当的实数a，若命题“若p，则q”为真命题，则a的取值范围为______________.[4，＋∞) 命题条件不明致误 将命题“已知c>0，当a>b时，ac>bc.”改写为“若p，则q”的形式．
[错解] 若c>0，a>b，则ac>bc.
[错解分析] 错误的根本原因是将“c>0”作为已知条件，实际上“已知c>0”是大前提，条件应是“a>b”，不能把它们全认为是条件．
[正解] 已知c>0，若a>b，则ac>bc.典例 5B A 3．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式：_________________________.
4．若“方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根”是真命题，则a＝______.若x＝2，则x2－3x＋2＝0 5．下列语句是命题的是__________.
(1)证明x2＋2x＋1≥0；
(2)你是团员吗？
(3)一个正数不是素数就是合数；
(4)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(3)(4) 课 时 作 业 学 案
