第一章 1.1 1.1.2、3
A级 基础巩固
一、选择题
1．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( D )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
2．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
[解析] －1x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D.
3．命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则( C )
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[解析] 如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中( B )
A．真命题个数一定是奇数
B．真命题个数一定是偶数
C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数
D．以上判断都不对
[解析] 因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B.
5．下列命题是真命题的是( D )
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．若x>1，则x>2
D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题
[解析] A选项的逆命题“若xy＝0，则x＝0”是假命题；B选项的否命题“若x≠0，则xy≠0”没有考虑y的取值，为假命题；当x＝1.5时，x>1但不大于2，故为假命题；选项D的逆否命题“(x－2)(x－1)＝0，则x＝1或x＝2”为真命题．故选D.
6．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“对顶角相等”的逆命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．
其中真命题的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] (1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．
(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．
(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．
(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．
二、填空题
7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是__逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5__；否命题是__否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8__，逆否命题是__逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5__.
8．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是__若a≤b，则2a≤2b__，为__真__(填“真”或“假”)命题．
[解析] 指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[解析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
B级 素养提升
一、选择题
1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( B )
A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数
[解析] 命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的( C )
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
[解析] 解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
p：若∠A＝∠B，则a＝b，
r：若∠A≠∠B，则a≠b，
s：若a≠b，则∠A≠∠B，
t：若a＝b，则∠A＝∠B.故s是t的否命题．
解法二：如图可知，s与t互否．
3．命题：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( D )
A．若a≠b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
[解析] 命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0”．
4．(2019·山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( C )
A．原命题是真命题 B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题
[解析] 原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( C )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 由题意，知原命题为真命题，则逆否命题为真命题．
逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”．若f(x)＝3x2，假命题．则否命题也为假命题．
二、填空题
6．(2019·河北武邑高二期末)命题“当c>0时，若a>b，则ac>bc.”的逆命题是__当c>0时，若ac>bc，则a>b__.
7．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为__[3,8)__.
[解析] 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．
三、解答题
8．在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．
(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．
[解析] (1)这个命题的逆命题是在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列，则am，am＋2，am＋1不成等差数列．
逆否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1不成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．
(2)设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下：
易知am＝am＋2＝am＋1＝a1≠0，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm＋2－Sm＝2a1，Sm＋1－Sm＋2＝－a1，显然Sm＋2－Sm≠Sm＋1－Sm＋2.
当q≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下：
因为am＝a1qm－1，am＋2＝a1qm＋1，am＋1＝a1qm，
若am，am＋2，am＋1成等差数列，则a1qm－1＋a1qm＝2a1qm＋1，
即1＋q＝2q2，也就是1－q2＝q2－q，
又Sm＋2－Sm＝－＝，
Sm＋1－Sm＋2＝－
＝＝，
即Sm＋2－Sm＝Sm＋1－Sm＋2.
课件38张PPT。第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系自主预习学案
1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做____________，其中一个命题叫做__________，另一个叫做原命题的__________.
2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做____________，其中一个命题叫做__________，另一个叫做原命题的__________.
3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做________________，其中一个命题叫做__________，另一个叫做原命题的____________.互逆命题 原命题 逆命题 互否命题 原命题 否命题 互为逆否命题 原命题 逆否命题 4．四种命题的相互关系
5．(1)原命题为真，它的逆命题__________为真．
(2)原命题为真，它的否命题__________为真．
(3)原命题为真，它的逆否命题________为真．
即互为逆否的命题是等价命题，它们同______同______，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为________的命题，它们同______同______.不一定 不一定 一定 真 假 逆否 真 假 1．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
2．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是 ( )
A．若q，则p B．若?p，则?q
C．若?q，则?p D．若?p，则q
[解析] ∵“若p，则q”为真，∴其逆否命题“若?q，则?p”一定为真．A C
3．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则命题q是命题r的 ( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．以上都不对
[解析] 同一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故选C．
C 4．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，真命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[解析] 原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．D
5．(2019·山西太原高二期末)命题“如果x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命题是_____________________________.
[解析] 命题“如果x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命题是“如果x≤1或y≤2，则x＋y≤3”．如果x≤1或y≤2，则x＋y≤3 互动探究学案命题方向1 ?命题的四种形式之间的转换 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等．
[思路分析] 此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
典例 1
[解析] (1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．『规律方法』 关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：
首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．
其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；
(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题；
(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题．
关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．〔跟踪练习1〕
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0；
(2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数．
[解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；
逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0.
(2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数；
否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数；
逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．命题方向2 ?四种命题的关系及真假判断 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
(1)若A∩B＝A，则A?B；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
[思路分析] 找准原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．典例 2『规律方法』 1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验．
2．当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．〔跟踪练习2〕
设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是 ( )
A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
[解析] 因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3，故选A．A 命题方向3 ?正难则反，等价转化思想我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[思路分析] 已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转化为证明其逆否命题．
典例 3[解析] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)证明如下：
若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．命题的间接证明当一个命题的真假不容易证明时，常借助它的逆否命题的真假来证明；利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．
关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是 ( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
[解析] 原命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”为真命题；逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”为假命题，因为抛物线的开口也可能向上(a>0)；根据命题间的等价关系可知其否命题为假，逆否命题为真．故选D.典例 4D 『规律方法』 由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明或判断原命题感到困难时，可考虑证明它的逆否命题成立，这样也能达到证明原命题成立的目的．这种证法叫做逆否证法．
〔跟踪练习4〕
求证：当a2＋b2＝c2时，a，b，c不可能都是奇数．
[解析] 证明：构造命题p：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．
该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.下面证明逆否命题是真命题．
由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．分清命题的条件与结论 写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．
[错解] 逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．
否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．典例 5
[错解分析] 上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．
[正解] 逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．
否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．
1．命题“若a>0，则a>1”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 逆命题：若a>1，则a>0，真命题．
否命题：若a≤0，则a≤1，真命题．
逆否命题：若a≤1，则a≤0，假命题．故应选C．C 2．命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac<0，则方程无实根”的否命题的逆否命题是 ( )
A．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac≥0，则方程有两个实根
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根，则其Δ<0
C．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根，则其Δ≥0
D．以上均不对
B
3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是 ( )
A．真命题 B．假命题
C．不一定是真命题 D．不一定是假命题
[解析] 命题的逆命题与否命题同真同假．
A 4．下列命题中正确的是 ( )
A．如果平面α⊥平面β，则α内任意一条直线必垂直于β
B．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l
[解析] 如果平面α⊥平面β，则α内一条直线不一定垂直于β；若直线l不平行于平面α，且直线l在平面α内，则α内有无数条直线平行于直线l；若直线l不垂直于平面α，且直线l在平面α内，则α内有无数条直线垂直于直线l；所以A，B，D都错；因为平面α内存在直线垂直于平面β，则有平面α垂直于平面β，所以其逆否命题也成立，即C正确，故选C．C
5．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
[解析] 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
因为原命题是假命题，所以逆否命题也是假命题．
因为逆命题是假命题，所以否命题也是假命题．
课 时 作 业 学 案
