第一章 1.2 1.2.1、1.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( A )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
[解析] 首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x>2”)，p是q的必要不充分条件，即p不能推出q且q?p，显然只有A满足．
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( A )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x
[解析] B项中，x2＝1?x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
3．(2019·福建厦门高二检测)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为( B )
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin x；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①中，周期函数还有很多，如y＝cos x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题个数为1，
故选B.
4．(2019·广西南宁高二检测)“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x(2x－1)＝0，得x＝0或x＝，故x(2x－1) x＝0一定成立，而x＝0?x(2x－1)＝0成立，
∴“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
5．“a＝－2”是“直线l1：(a＋1)x＋y－2＝0与直线l2：ax＋(2a＋2)y＋1＝0互相垂直”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，
解得a＝－1或a＝－2，故选A．
6．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( C )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
二、填空题
7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的__充分不必要__条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
[解析] x＝3?x2＝9，x2＝9x＝3，
故p是q的充分不必要条件．
8．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(其中a>0)，q：2[解析] p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(其中a>0)，解得aq：2解得1三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1； q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5； q：x≥－1且x≤5；
(3)p：三角形是等腰三角形；
q：三角形是等边三角形．
[解析] (1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．
B级 素养提升
一、选择题
1．设α、β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β”是“α∥β”的( B )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由面面平行的判定定理可知，由m∥βα∥β，故充分性不成立；而α∥β?m∥β，必要性成立．
2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( A )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
[解析] 由a∥b，得2×4－(x＋1)(x－1)＝0，
∴x＝±3，
∴“x＝3”是“a∥b”的充分条件，故选A．
3．(2019·山东潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的( C )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，
则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3?命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3?x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5?命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．
4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( B )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B.
5．(2019·天津理，3)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( B )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由“x2－5x<0”可得“0二、填空题
6．下列不等式：① x<1；② 0[解析] 由于x2<1，即－17．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
[解析] 当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．
由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5<0，∴b<5.
当y＝0时，x＝>0，
∵b<5，∴k>4.故填“充要”．
三、解答题
8．指出下列各组命题中，p是q的什么条件. (用“充分条件”或“必要条件”作答)
(1)向量a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，p：＝，q：a∥b；
(2)p：|x|＝|y|，q：x＝－y；
(3)p：直线l与平面α内两条平行直线垂直，q：直线l与平面α垂直；
(4)f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，p：f(x)、g(x)均为偶函数，q：h(x)为偶函数．
[解析] (1)由向量平行公式可知：p?q，
但当b＝0时，a∥b不能推出＝，即q不能推出p，
∴p是q的充分条件．
(2)∵|x|＝|y|?x＝±y，∴p不能推出q，但q?p，
∴p是q的必要条件．
(3)由线面垂直的判定定理可知：p不能推出q，但由线面垂直的定义可知：q?p，∴p是q的必要条件．
(4)若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p?q，但q不能推出p，
∴p是q的充分条件．
课件39张PPT。第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件自主预习学案
p?q 充分条件 必要条件 充要条件 p?q 既不充分也不必要条件 充分不必要 必要不充分 1．对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是 ( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
[解析] a＝b?ac＝bc.
即ac＝bc是a＝b的必要条件，故选B.B
2．(2019·山东潍坊高二期末)设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由|x|>1，解得x>1或x<－1，
故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，故选A．
A 3．(2019·浙江卷，5)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件A 4．设点P(x，y)，则“x＝－3，y＝1”是“点P在直线l：x－y＋4＝0上”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A
5．在下列横线上填上“充分”或“必要”．
(1)a>1是a>2的________条件．
(2)a<1是a<2的________条件．必要 充分 互动探究学案命题方向1 ?充分条件的判断典例 1[思路分析] 判断命题“若p，则q”的真假，从而判定p是否是q的充分条件．『规律方法』 1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．
2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．〔跟踪练习1〕
“a＋b>2c”的一个充分条件是 ( )
A．a>c或b>c B．a>c或bC．a>c且bc且b>cD 命题方向2 ?必要条件 下列命题中是真命题的是 ( )
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；
④“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
[思路分析] 根据必要条件的定义进行判断．典例 2D 『规律方法』 1.判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立；
2．p是q的必要条件理解要点：
①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立．
②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若p：x2＝4，则q：x＝－2”是假命题．p不是q的充分条件，但q?p成立，所以p是q的必要条件．因此只有一个命题“若p，则q”是真命题时，才能说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
3．推出符号“?”
只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p?q”．a＝1 命题方向3 ?充要条件 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1典例 3A
〔跟踪练习3〕
(1)设a、b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件，故选D.D (2)(2019·全国Ⅱ卷文，7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 ( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
[解析] 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.B 命题方向4 ?充要条件的证明 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[思路分析] 第一步，审题，分清条件与结论：
“p是q的充要条件”中p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”中，p是结论，q是条件．本题中条件是“a＋b＋c＝0”，结论是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1”．
第二步，建联系确定解题步骤．
分别证明“充分性”与“必要性”
先证充分性：“条件?结论”；再证必要性：“结论?条件”．
第三步，规范解答．典例 4[解析] 必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：
∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
因此，方程有一个根为x＝1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.〔跟踪练习4〕
已知ab≠0，证明：a＋b＝1成立的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.必要性：
若a＋b＝1，则由以上对充分性的证明知a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，
故必要性得证．
综上可知，a＋b＝1成立的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.求参数的值或取值范围的关键先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围． 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x ∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．典例 5『规律方法』 先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
注意：把充分条件或必要条件转化为集合间的关系后，集合端点处的等号易错．a≤9 6≤a≤9 忽视隐含条件致误 在△ABC中，A、B、C分别为三角形三边所对的角，则“A>B”是“sin A>sin B”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件典例 6[错解分析] 错解的原因是忽视了A、B是△ABC的内角这一条件.
[正解] C 在△ABC中，设角A、B所对的边分别为a、b，则A>B? a>b?2Rsin A>2Rsin B(其中R为△ABC外接圆的半径)?sin A>sin B，故选C．A A 3．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的 ( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，又不是必要条件
D．无法判断
4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的____________.
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的___________.A 必要条件 充分条件
5．判断命题p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由．
[解析] p是q的充分条件．
因为p：|x－2|≤3的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
所以P?R，也就是p?q，
故p是q的充分条件．课 时 作 业 学 案