第一章 1.3 1.3.1、2
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题p：y＝log2(x－2)的单调增区间是 [1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)，下列命题是真命题的为( B )
A．p∧q B．p∨q
C．p∧(?q) D．?q
[解析] ∵y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上增，
∴p假，由3x>0得3x＋1>1，∴0<<1，∴y＝的值域为(0,1)，∴q真，故选B.
2．如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么( D )
A．命题p和命题q都是假命题 B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p为真命题，q为假命题 D．命题q和命题p的真假不同
[解析] “p或q”是真命题，则p，q至少有一个是真命题；“p且q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以p，q有且只有一个是真命题，故选D.
3．(2019·山东青岛高二检测)下列命题是真命题的是( B )
A．5>2且7>8 B．3>4或3<4
C．9≤7 D．方程x2－3x＋4＝0有实根
[解析] 3>4是假命题，3<4是真命题，故3>4或3<4是真命题．
4．下列命题：
①方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；
②周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；
③集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①中，判别式Δ＝9＋16＝25>0，故①中命题为真命题；②中，周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等，故②中命题为假命题；③中，(A∩B)?A，(A∩B)?(A∪B)，故③中命题为真命题．故选C．
5．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若>，则a>b，则( A )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p、q均为假
[解析] x>2?x2>4，x2>4x>2，故p为假命题；由>?a>b，故q为真命题，
∴p∨q为真，p∧q为假，故选A．
6．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是( B )
A．p假q假 B．“p或q”为真
C．“p且q”为真 D．p假q真
[解析] ∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2
∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．
∵?≠{0}，∴q假．
故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.
二、填空题
7．“3≥3”是__p∨q__形式的命题．
[解析] 3≥3等价于3>3或3＝3，故“3≥3”是“p∨q”形式的命题．
8．p：ax＋b>0的解集为x>－；
q：(x－a)(x－b)<0的解为a则p∧q是__假__命题(填“真”或“假”)．
[解析] p中a的符号未知，q中a与b的大小关系未知，因此命题p与q都是假命题．
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，
q：函数y＝cos x是奇函数．
[解析] (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
B级 素养提升
一、选择题
1．设P、Q是简单命题，则“P∧Q为假”是“P∨Q为假”的( A )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若P∧Q为假，则P与Q至少一假，得不出P∨Q为假；反之若P∨Q为假，则P与Q均为假，从而P∧Q必为假，∴选A．
2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A．
3．由命题p：“函数y＝是减函数”与q：“数列a，a2，a3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( B )
A．p∨q为真，p∧q为假 B．p∨q为假，p∧q为假
C．p∨q为真，p∧q为真 D．p∨q为假，p∧q为真
[解析] ∵p为假，q为假，
∴p∨q为假，p∧q为假．
4．已知命题p：m<0，命题q：x2＋mx＋1>0对一切实数x恒成立，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( D )
A．m<－2 B．m>2
C．m<－2或m>2 D．－2[解析] q：x2＋mx＋1>0对一切实数恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，∴－2p：m<0，∵p∧q为真命题，
∴p、q均为真命题，∴，∴－2二、填空题
5．(2019·安徽宿州高二检测)有以下四个命题：
(1)直线a平行于直线b；
(2)直线a平行于直线b或直线a平行于直线c；
(3)直线a平行于直线b且直线a平行于直线c；
(4)a2＋1≥1.
其中是p∨q形式的命题的序号__(2)(4)__，p∧q形式的命题的序号为__(3)__.
[解析] (1)是简单命题；(2)是p∨q形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(3)是p∧q的形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(4)是p∨q形式，其中p：a2＋1>1，q：a2＋1＝1.
6．设命题P：a20，命题P∧Q为假，P∨Q为真，则实数a的取值范围是__ －[解析] 由a20恒成立知Δ＝16a2－4<0，∴－三、解答题
7．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：a2＋8a－20<0，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] ax2＋ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式恒成立，满足题意．
当a≠0时，由题意得，解得0q：a2＋8a－20<0，∴－10∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p、q一真一假．
当p真q假时，，
∴2≤a<4.
当p假q真时，，
∴－10综上可知，实数a的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．
8．已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题，并指出其真假．
[解析] “p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
∵Δ＝24－24＝0，
∴方程有两个相等的实根，故p真，q假．
∴p或q真，p且q假．
课件48张PPT。第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)自主预习学案
1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作________.
2．关于逻辑联结词“且”
(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”“及”“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须________成立．p∧q (2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2__________时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．p且q 同时 都闭合 (3)从集合角度理解“且”即集合运算“______”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，
则p∧q?x∈A，且x∈B?x∈(A∩B)．
(4)“p∧q”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，p∧q是______命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是______命题．
交 真 假 3．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作________.
4．关于逻辑联结词“或”
(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有________成立即可．
(2)从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2__________时，灯才不会亮．p∨q p或q 一个 都断开 (3)从集合角度理解“或”即集合运算“______”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，
则p∨q?x∈A，或x∈B?x∈(A∪B)．
(4)当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是______命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是______命题．
逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．并 真 假
1．“xy≠0”是指 ( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．不都是0
[解析] xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
A
2．已知命题“正方形的对角线互相垂直平分”，则 ( )
A．该命题是假命题
B．该命题的条件是对角线互相垂直平分
C．该命题的逆否命题是假命题
D．该命题是“p∧q”形式的命题
[解析] 该命题是p∧q形式的命题，p：正方形的对角线互相垂直；q：正方形的对角形互相平分．
D
3．下列判断正确的是 ( )
A．命题p为真命题，命题“p或q”不一定是真命题
B．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p且q”是假命题，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题
[解析] 因为p、q都为真命题时，“p且q”为真命题．
B
4．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是 ( )
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
[解析] “p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B.
B
5．将命题p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解，用联结词“或”联结得到的新命题为___________________________ ______，其为______命题．(填“真”或“假”)
[解析] 由已知得“p∨q”为：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；∵p、q均为真命题，∴p∨q为真．－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0 的解 真 互动探究学案命题方向1 ?命题的构成形式 分别指出下列命题的构成形式．
(1)小李是老师，小赵也是老师；
(2)1是合数或质数；
(3)他是运动员兼教练员；
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误．
[思路分析] 本题考查命题的构成形式，是本节课的重点，也是以后学习的基础．典例 1
[解析] (1)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．
(3)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．
(4)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．
『规律方法』 1.辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.〔跟踪练习1〕
(2019·浙江绍兴高二检测)下列语句是命题吗？如果是命题，请指出命题的构成形式：
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或内切圆；
(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数或是周期函数．
[解析] (1)是p∧q形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p∨q形式的命题．其中p：正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，q：正弦函数y＝sin x(x∈R)是周期函数．命题方向2 ?含有逻辑联结词的复合命题的写法典例 2[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①给定两个命题p、q.
②写出由它构成的含有逻辑联结词的复合命题．
解答这类题目的关键是要正确地使用联结词，并注意语法上的要求．『规律方法』 用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．命题方向3 ?含有逻辑联结词的命题真假的判断 指出下列命题的真假：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)相似三角形的周长相等或对应角相等；
(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．
典例 3
[解析] (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式．其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题．
(3)是“p∧q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形；q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．“p∧q”是真命题．
『规律方法』 判断“p∧q”“p∨q”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
〔跟踪练习3〕
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．
(1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；
(2)4或3是15的约数；
(3)10≤10.
[解析] (1)这一命题是“p且q”的形式．
其中p：等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，
q：等腰三角形的顶角平分线平分底边．
因为p、q都是真命题，所以这一复合命题是一个真命题．
(2)是“p或q”形式的命题，其中p：4是15的约数；
q：3是15的约数．“p或q”为真命题．
(3)是“p或q”形式的命题，其中p：10＝10；q：10<10.“p或q”为真命题．命题方向4 ?求解含逻辑联结词命题中的参数 已知命题p：关于x的不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
[思路分析] 第一步，审题：
审结论明确解题方向：“求实数m的取值范围”，应依据命题p∨q为真，p∧q为假建立关于m的不等式组求解．
典例 4
审条件挖掘解题信息：由关于x的绝对值不等式|x－1|>m－1的解集为R，知m－1<0；由指数函数f(x)＝(5－2x)x为增函数知5－2m>1；由“p∨q”为真，p∧q为假结合真值表可得p、q的真假．
第二步，探求条件与结论之间的联系，确定解题突破口和解答步骤，先求p为真时m的取值范围，再求q为真时m的取值范围，然后由复合命题真假确定简单命题p、q的真假，并求m的相应取值范围，最后下结论．
第三步，规范解答．
[解析] 不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0，即p是真命题时，m<1；
函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，须5－2m>1，即q是真命题时，m<2.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．
(1)当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；
(2)当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，
因此1≤m<2.
『规律方法』 “p∧q”为真，则p真且q真；“p∧q”为假，则p、q至少一假；“p∨q”为真，则p、q至少一真；“p∨q”为假，则p、q都为假．〔跟踪练习4〕
(2019·山东烟台高二检测)已知p：x2＋mx＋1＝0有两不相等的负实数根，q：方程4x2＋(4m－2)x＋1＝0无实数根．
(1)若p为真，求实数m的取值范围；
(2)若p为假q为真，求实数m的取值范围．
根据命题的真假求参数范围一般地，设p成立的范围构成集合A，q成立的范围构成集合B，I为全集，可以将此类求参数取值范围的问题转化为集合的运算．
(1)p∨q为真，即求A∪B；
(2)p∧q为真，即求A∩B；
(3)p∨q为真，p∧q为假，即求(A∩?IB)∪(?IA∩B)． 已知p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围．典例 5『规律方法』 解决与含逻辑联结词的命题的真假有关的参数问题的一般步骤如下：
(1)分别求出p真，q真时参数的取值范围；
(2)根据真值表和已知p∧q，p∨q的真假判断p、q的真假；
(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．注意审题时隐含条件的发掘 已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．典例 6[错解分析] 错解的原因是忽视了前提条件a>0.1．p：2是偶数，q：2是质数，则?p，?q，p∨q，p∧q中真命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] p和q显然都是真命题．∴?p，?q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．B 2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是 ( )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
3．命题p：方向相同的两个向量共线，命题q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________________________________.
B 方向相同或相反的两个向量共线 4．将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假．
(1)p：四条边相等的四边形是正方形，q：四个角相等的四边形是正方形；
(2)p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；
(3)p：5是17的约数，q：5是15的约数．
[解析] (1)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．由于p是假命题，q是假命题．所以p∧q是假命题．
(2)p∧q：正方形的四条边相等且四个角相等．由于p和q都是真命题，所以p∧q也是真命题．
(3)p∧q：5是17的约数且5也是15的约数．由于p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题．
5．将下列命题用“或”联结成新命题，并判断其真假．
(1)p：4是素数，q：4不是偶数；
(2)p：集合A是A∩B的子集，q：集合A是A∪B的子集．
[解析] (1)p∨q：4是素数或4不是偶数．由于p和q都是假命题，所以p∨q是假命题．
(2)p∨q：集合A是A∩B的子集或集合A是A∪B的子集．由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题．课 时 作 业 学 案