第一章 1.3 1.3.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么( B )
A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真值相同
[解析] “非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.
2．如果命题“?(p∨q)”为假命题，则( C )
A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为假命题
[解析] “?(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．
3．(2019·辽宁大连高二检测)已知U＝R，A?U，B?U，命题p：∈A∪B，则?p是( D )
A．?A B．∈?UB
C．?A∩B D．∈(?UA)∩(?UB)
[解析] ?p：?A∪B，即∈(?UA)∩(?UB)，故选D.
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命题是( C )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2
5．已知命题p：对?x∈R，总有2x>0；命题q：“x>1”是“x>3”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( D )
A．p∧q B．(?p)∧q
C．(?p)∨q D．p∧(?q)
[解析] 命题p：对?x∈R，总有2x>0为真命题；
由x>1，不能得到x>3，由x>3，能够得到x>1，
∴“x>1”是“x>3”的必要不充分条件，故q为假命题．
∴p∧q为假命题，(?p)∧q为假命题，(?p)∨q为假命题，p∧(?q)为真命题．
故选D.
6．已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则?p是?q的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由|a|≤1得－1≤a≤1，
∴?p：a>1，?q：a<－1或a>1，
∴?p??q，但?q?p，故选A．
二、填空题
7．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，m?α， n?β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.
下面的命题中：①p∨q；②p∧q；③p∨(?q)；④(?p)∧q.真命题的序号是__①④__(写出所有真命题的符号)．
[解析] 易知p是假命题，q是真命题．
∴?p为真，?q为假，∴p∨q为真，p∧q为假，p∨(?q)为假，(?p)∧q为真．
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”，“?q”都是假命题，则x的值组成的集合为__{－1,0,1,2}__.
[解析] 因为“p∧q”为假，“?q”为假，
所以q为真，p为假．
故，即，
因此x的值可以是－1,0,1,2.
三、解答题
9．写出下列命题的否定和否命题：
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)若a2＋b2＝0，则a＝0，b＝0；
(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角．
[解析] (1)原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：不是菱形的四边形的对角线不互相垂直．
(2)原命题的否定：若a2＋b2＝0，则a和b中至少有一个不为0.
原命题的否命题：若a2＋b2≠0，则a和b中至少有一个不为0.
(3)原命题的否定：若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
原命题的否命题：若一个三角形不是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
B级 素养提升
一、选择题
1．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次，设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题(?p)∨(?q)表示( D )
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
C．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
[解析] ?p表示“甲的试跳成绩不超过2米”，?q表示“乙的试跳成绩不超过2米”，故(?p)∨(?q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”．
2．(2017·山东文，5)已知命题p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p∧q B．p∧?q
C．?p∧q D．?p∧?q
[解析]
∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题，?p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，?q为真命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，?q为真命题．
根据真值表可知p∧?q为真命题，p∧q，?p∧q，?p∧?q为假命题．
故选B.
3．已知命题p：对任意x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题?p是真命题，那么实数a的取值范围是( C )
A．a< B．0C．a≤ D．a≥
[解析] ∵命题?p是真命题，∴命题p是假命题．
∵对任意x∈R，ax2＋2x＋3>0，∴，
∴a>.
∴当a>时，命题p为真命题，
∴命题p是假命题时，a≤.
4．(2019·全国Ⅲ卷文，11)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②?p∨q ③p∧?q ④?p∧?q
这四个命题中，所有真命题的编号是( A )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
[解析] 方法1：画出可行域如图中阴影部分所示．
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴ 2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A．
方法2：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．故选A．
二、填空题
5．(2019·湖北孝感高二检测)在一次射击训练中，某战士连续射击了两次．设命题p是“第一次射击击中目标”，q是“第二次射击击中目标”．则命题“两次都没有击中目标”用p、q及逻辑联结词可以表示为__(?p)∧(?q)__.
[解析] p是第一次射击击中目标，则?p是第一次没有击中目标，q是第二次射击击中目标，则?q是第二次没有击中目标，两次都没有击中目标用p，q及逻辑联结词可以表示为(?p)∧(?q)．
6．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1[解析] ∵?x∈R，x2＋x＋1>0，
∴命题p为假，?p为真；
∵≤0??1∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，?q为假．
三、解答题
7．已知命题p：不等式x2＋kx＋1≥0对于一切x∈R恒成立，命题q：已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根，若p且q为假，p或q为真．求实数k的取值范围．
[解析] 当p为真命题时，Δ＝k2－4≤0，所以－2≤k≤2.
当q为真命题时，令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根
∴，即，
所以k<－2.
要使p且q为假，p或q为真，则p真q假，或者是p假q真．当p真q假时，－2≤k≤2，当p假q真时，k<－2.综上：k≤2.
8．命题p：实数x满足<0，其中m<0；命题q：实数x满足x2－x－6<0或x2＋2x－8<0，且?p是?q的必要不充分条件，求m的取值范围．
[解析] 由<0，得(x＋m)(x＋3m)<0，
又∵m<0，∴－3m>－m.
∴－m由x2－x－6<0或x2＋2x－8<0得－4∵?p是?q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴ ∴－1≤m<0.
课件33张PPT。第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词1.3.3 非(not)自主预习学案
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作_______，读作_______或___________.
2．若p是真命题，则?p是______命题，若p是假命题，则?p是______命题．
含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：?p 非p p的否定 假 真 B B [解析] “?p”为假，则“p”为真，由“p∧q”为假，知“q”为假．
3．若命题p：x∈A∩B，则?p为 ( )
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈A∪B
[解析] 命题p：x∈A∩B，即x∈A且x∈B.
∴?p为：x?A或x?B.
B 4．已知命题p：偶函数的图象关于y轴对称，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是 ( )
A．p∧q B．(?p)∧(?q)
C．(?p)∧q D．p∧(?q)
[解析] ∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧(?q)为真命题，故选D.D
5．(2019·浙江温州高二检测)写出下列命题的否定与否命题，并判断它们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若A∪B＝B，则A?B.
[解析] (1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．
(2)命题的否定：若A∪B＝B，则A?B，是假命题；
否命题：若A∪B≠B，则A?B，是真命题．互动探究学案命题方向1 ?命题的否定 写出下列命题的“?p”形式．
(1)p：3是自然数；
(2)p：??{1,2}；
(3)p：李华是学生．
[解析] (1)?p：3不是自然数．
(2)?p：??{1,2}．
(3)?p：李华不是学生．典例 1『规律方法』 1.关于逻辑联结词“非”
(1)“非”的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，即与之相反的意思．
(2)从集合角度理解“非”即集合运算“补”
设命题p：x∈A(A?U)．
则?p?x?A?x∈(?UA)．
2．由命题p写?p时，只否定其结论．
〔跟踪练习1〕
写出下列命题的“?p”形式．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
[解析] (1)?p：函数y＝3x2不是偶函数．
(2)?p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．命题方向2 ?含逻辑联结词的命题真假的判断 指出下列命题的真假：
(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；
(2)命题：“A?(A∪B)”．
[思路分析] 复合命题的真假判断，一般应先弄清复合命题的形式和构成复合命题的简单命题的真假，再利用复合命题的真值表来处理．
[解析] (1)此命题是“?p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即非p为假命题，所以原命题为假命题．
(2)此命题为“?p”的形式，其中p：A?(A∪B)．因为p为真命题，所以“?p”为假命题，故原命题为假命题．典例 2『规律方法』 1.判断含有逻辑联结词的复合命题真假的方法步骤为：
第一步，分析复合命题的结构，找到组成它的简单命题p和q.
第二步，利用数学知识，判定简单命题p和q的真与假．
第三步，利用真值表判定复合命题的真假．
2．否定性命题，可举反例判断真假．[点评] 判断?p的真假，一是利用p与?p的真假不同的性质，由p的真假判定?p的真假；二是利用所学知识直接判断?p的真假．另外，要熟练运用“至少”“最多”“同时”以及“至少有一个是(不是)”“最多有一个是(不是)” “都是(不是)”“不都是”这些词语．命题方向3 ?命题的否定与否命题 写出下列各命题的否定形式及否命题．
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零．
[解析] (1)否定形式：存在面积相等的两三角形不全等．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
(2)否定形式：存在实数m、n、a、b满足m2＋n2＋a2＋b2＝0，但实数m，n，a，b不全为零．
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．典例 3『规律方法』 1.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．
2．注意复合命题“p∨q”“p∧q”的否定．〔跟踪练习3〕
写出下列命题的否定形式和否命题．
(1)等腰三角形有两个内角相等；
(2)自然数的平方是正数．
[解析] (1)否定形式：存在某个等腰三角形它的任意两个内角都不相等．
否命题：任意两边都不相等的三角形的任意两个内角都不相等．
(2)否定形式：存在平方不是正数的自然数．
否命题：如果一个数不是自然数，则它的平方不是正数．由复合命题的真假求参数的取值范围由复合命题的真假求参数的取值范围的解题思路：①此类题目一般会出现“p或q”为真，“p或q”为假，“p且q”为真，“p且q”为假等条件，解题时应先将这些条件转化为p，q的真假．p，q的真假有时是不确定的，需要讨论．但无论哪种情况，一般都是先假设p，q为真，求出参数的取值范围，当它们为假时取补集即可．②相关结论：使“p或q”为真的参数的取值范围为使命题p，q分别为真的参数的取值范围的并集；使“p且q”为真的参数的取值范围为使命题p，q分别为真的参数的取值范围的交集． (2019·福州八县一中期末改编)设命题p：?x∈R，x2－2x>a，其中a∈R，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.如果?p为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
[思路分析] 求出两个命题是真命题时的a的范围，判断复合命题的真假，然后求解实数a的取值范围．典例 4〔跟踪练习4〕
已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是_______________.(－∞，－1) 对命题的否定要准确典例 51．已知p：2＋2＝5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是 ( )
A．p或q为真，非q为假 B．p或q为真，非p为真
C．p且q为假，非p为假 D．p且q为假，p或q为真
2．(2019·西宁二十一中检测)设命题p：?n∈N*，n2>2n，则?p为 ( )
A．?n∈N*，n2>2n B．?n∈N*，n2≤2n
C．?n∈N*，n2≤2n D．?n∈N*，n2＝2n
[解析] 命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C．C C 3．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是 ( )
A．p∨q B．p∧q
C．(?p)∧(?q) D．p∨(?q)
4．命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是____________ ____________.
[解析] 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是：存在四面体没有内切球．A 存在四面体 没有内切球
5．分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的命题的真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数．
(2)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直．
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，
q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等．
(4)p：π是有理数，q：π是无理数．
[解析] (1)因为p是真命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q是真命题，?p是假命题．
(2)因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q是假命题，?p是真命题．
(3)因为p是假命题，q是假命题，所以p∨q是假命题，p∧q是假命题，?p是真命题．
(4)因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q是假命题，?p是真命题．
课 时 作 业 学 案