第一章 1.4 1.4.1、2
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，全称命题的个数为( C )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．
2．下列特称命题中真命题的个数是( D )
①?x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③?x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①②③都是真命题．
3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( A )
A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
[解析] 选项A，B为特称命题，故排除C、D.因>1，则不存在实数x0，使sin x0＝，故排除B，故选A．
4．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
[解析] ②③含有全称量词，所以是全称命题．
5．下列命题中为特称命题的是( C )
A．所有的整数都是有理数 B．三角形的内角和都是180°
C．有些三角形是等腰三角形 D．正方形都是菱形
[解析] A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．
6．已知命题p：?x0∈R，x＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( A )
A．[0,4] B．(0,4)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
[解析] 假设p为真，
Δ＝a2－4a>0
即a>4或a<0
∵p为假，∴0≤a≤4
∴实数a的取值范围[0,4]．
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”写成特称命题为__?x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.
[解析] 根据特称命题的定义改写．
8．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.
[解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．
三、解答题
9．用符号表示下列全称命题：
(1)对任意a>1，都有函数f(x)＝ax在R上是增函数；
(2)对所有实数m，都有<0；
(3)对每一个实数x，都有cos x<1.
[解析] (1)?a>1，函数f(x)＝ax在R上是增函数．
(2)?m∈R，<0.
(3)?x∈R，cos x<1.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( D )
A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在大于等于3的实数
[解析] 选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D.
2．下列命题是真命题的是( D )
A．?x∈R，(x－)2>0 B．?x∈Q，x2>0
C．?x0∈Z,3x0＝812 D．?x0∈R,3x－4＝6x0
[解析] A中当x＝时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．
3．已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
[解析] p真：m<0.
q真：Δ＝m2－4<0，∴－2∵p∧q为真命题，
∴p、q均为真命题，∴－24．(2019·唐山一模)已知命题p：?x0∈N，xA．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
[解析] 由x二、填空题
5．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
6．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x－1|<2；④对任意的实数x>5，都有x>3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)
[解析] ②是特称命题；③不是命题．
三、解答题
7．判断下列命题的真假：
(1)任给x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
(2)存在α、β∈R，sin (α＋β)＝sin α＋sin β；
(3)存在x、y∈Z,3x－2y＝10；
(4)任给a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
[解析] (1)∵x∈Q，∴x2与x均为有理数，从而x2＋x＋1是有理数，∴(1)真；
(2)当α＝0，β＝时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立，
∴(2)真；
(3)当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，∴(3)真；
(4)当a＝0，b＝1时，0x＋1＝0无解，∴(4)假．
8．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析] 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立．
所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
课件30张PPT。第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词自主预习学案
1．短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，含有全称量词的命题，叫做____________.
2．全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：________________.
3．常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”，表示______________的含义．对所有的 对任意一个 ? 全称命题 ?x∈M，p(x) 整体或全部
4．短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，含有存在量词的命题，叫做____________.
5．特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，________________.
6．存在量词：“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”，表示________________的含义．存在一个 至少有一个 ? 特称命题 ?x0∈M，p(x0) 个别或一部分 1．下列命题：
①有一个实数不能作除数；
②棱柱是多面体；
③所有方程都有实数解；
④有些三角形是锐角三角形．
其中是特称命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①④是特称命题；②③是全称命题．B
2．下列不是全称量词的是 ( )
A．任意一个 B．所有的
C．每一个 D．很多
[解析] A、B、C中的量词都是全称量词，D中的量词是存在量词，故选D.
D
3．下列语句不是全称命题的是 ( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．有些自然数不是正整数
D．每一个向量都有大小
[解析] C项中不含全称量词，不是全称命题．C A [解析] 选项A中命题为“所有的圆都有内接四边形”，是全称命题．
5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________.
[解析] ag(3)＝3，∴a≤3.(－∞，3] 互动探究学案命题方向1 ?全称命题、特称命题的判定 判断下列命题是全称命题还是特称命题？
(1)指数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
(3)负数的平方是正数；
(4)有的实数是无限不循环小数；
(5)有些三角形不是等腰三角形；
(6)每个二次函数的图象都与x轴相交．典例 1[思路分析] 判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是两点：一是是否具有两类命题所要求的量词；二是根据命题的含义判断指的是全体，还是全体中的个别元素．
[解析] (1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．
(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题．
(3)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．
(4)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．
(5)中含有存在量词“有些”，所以是特称命题．
(6)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题．『规律方法』 判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：
1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．〔跟踪练习1〕
判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)有些素数的和仍是素数；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解析] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．
(3)含有存在的量词“有些”，故为特称命题．
(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．命题方向2 ?全称命题和特称命题真假的判断 给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2>0；②?x∈N，x4≥1；③?x0∈Z，x<1；④?x0∈Q，x＝3.
其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填上)．
[解析] ①由于?x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.
所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题．典例 2①③ 『规律方法』 1.全称命题的真假判断
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
2．特称命题的真假判断
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．利用全称命题和特称命题的真假求参数范围 命题p：?x∈R，sinxcosx≥m，若命题p是真命题，求实数m的取值范围．典例 3〔跟踪练习3〕
若命题“?x0∈R使得x＋mx0＋2m＋5<0”为假命题，则实数m的取值范围是 ( )
A．[－10,6] B．(－6,2]
C．[－2,10] D．(－2,10)C 注意准确把握语句的真实含义典例 4[错解] (1)无法判定．(2)特称命题．(3)全称命题．
[错解分析] 对省略全称量词和存在性量词的命题缺乏分析理解．1．(2019·河南洛阳高三模拟)下列命题中是假命题的是 ( )
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2
2．下列命题是真命题的是 ( )
A．a>b是ac2>bc2的充要条件
B．a>1，b>1是ab>1的充分条件
C．?x∈R,2x>x2
D．?x0∈R，ex0<0B B C (－∞，－2) 课 时 作 业 学 案
