第一章 1.4 1.4.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( B )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C )
A．?x∈R，|x|>0 B．?x0∈R，|x0|>0
C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0
[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．
3．(2019·江西抚州高二检测)已知命题p：?x∈R，x2＋2x＋2>0，则?p是( C )
A．?x0∈R，x＋2x0＋2<0 B．?x∈R，x2＋2x＋2<0
C．?x0∈R，x＋2x0＋2≤0 D．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
[解析] ∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C正确．
4．已知命题p：?x0∈R，x0－2>lgx0，命题q：?x∈R，x2≥2，则( C )
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(?q)是真命题 D．命题p∨(?q)是假命题
[解析] x0＝4时，4－2>lg2，∴p为真命题，∵?x∈R，x2≥2，∴q为假命题，∴p∧(?q)是真命题．
5. 下列说法正确的是( A )
A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件
B．命题“?x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋3>0”
C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件
D．命题p：“?x∈R，sin x＋cos x≤”，则?p是真命题
[解析] a>1时，f(x)＝logax为增函数，f(x)＝logax(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A正确；“<”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误；∵sin x＋cos x＝sin (x＋)≤恒成立，∴p为真命题，从而?p为假命题，∴D错误．
6．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是( C )
A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
[解析] ?p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根，故选C．
二、填空题
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0__.
[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内__.
[解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
三、解答题
9．写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)被8整除的数能被4整除．
[解析] (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是?p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此?p是真命题．
(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．
(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．
(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
B级 素养提升
一、选择题
1．命题“?n∈N*，f(n)∈N* 且f(n)≤n”的否定形式是( D )
A．?n∈N*, f(n)?N*且f(n)>n B．?n∈N*, f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*, f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*, f(n0)?N*或f(n0)>n0
[解析] 命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”
其否定为：“?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0”．
2．命题“?x∈R，ex>x2”的否定是( C )
A．不存在x∈R，使ex>x2 B．?x∈R，使ex
C．?x∈R，使ex≤x2 D．?x∈R，使ex≤x2
[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C．
3．已知命题“?a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是( B )
A．?a、b∈R，如果ab<0，则a<0
B．?a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C．?a、b∈R，如果ab<0，则a<0
D．?a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
[解析] 条件ab>0的否定为ab≤0；
结论a>0的否定为a≤0，故选B.
4．(2019·江西抚州高二检测)已知命题“?x∈R,2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(－1,3)
C．(3，＋∞) D．(－3,1)
[解析] 由题意知，?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，恒成立，
∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3<0，∴－15．已知命题p：?x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：?x∈R.sin x－cos x＝.则下列判断正确的是( D )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．?p是假命题 D．?q是假命题
[解析] p中：∵Δ＝4－4＝0，∴p是假命题，q中，当x＝π时，cosx＝，cosx＝－时，是真命题，故?q是假命题．
二、填空题
6．已知命题p：?x∈R，x2－x＋<0，命题q：?x0∈R，sin x0＋cos x0＝，则p∨q，p∧q，?p，?q中是真命题的有__p∨q，?p__.
[解析] ∵x2－x＋＝(x－)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝，使sin x0＋cos x0＝，故q是真命题，因此p∨q是真命题，?p是真命题．
7．命题“?x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是__a>2或a<－2__.
[解析] 由于?x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.
三、解答题
8．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足≤0.
(1)若a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若“?p”是“?q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a当a＝1时，1q为真时，≤0等价于
得2即q为真时实数x的取值范围是2若“p∧q”为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围2(2)“?p”是“?q”的充分不必要条件，
即?p??q，且?q?p，等价于q?p，
且pq，设A＝{x|a则03，所以实数a的取值范围是1课件32张PPT。第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定自主预习学案现在的招聘一般由资格审查、笔试、面试三部分构成．如果你在招聘中已通过了资格审查和笔试，那么你是否一定能通过面试？是否一定能求职成功？
1．全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：__________________.
2．特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：__________________.
3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题．
常见的命题的否定形式有：?x0∈M，?p(x0) ?x∈M，?p(x) 不是 不都是 ≤ 一个也
没有 至少有
两个 存在x0∈A
使p(x0)假 D
2．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是 ( )
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
[解析] 特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．故选A．
A 3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则 ( )
A．?p：?x∈A,2x∈B B．?p：?x?A,2x∈B
C．?p：?x∈A,2x?B D．?p：?x?A,2x?B
[解析] 本题考查全称命题与特称命题的转化问题．
由命题p：?x∈A,2x∈B得?p：?x∈A,2x?B.
C
4．(2019·安徽安庆市高二期末)“?x>0,2x>sinx”的否定是 ( )
A．?x>0,2x0,2x≤sinx
C．?x0≤0,2x0≤sinx0 D．?x0>0,2x0≤sinx0
[解析] 因为全称命题的否定是特称命题，故“?x>0,2x>sinx”的否定是“?x0>0,2x0≤sinx0”，故选D.
D
5．命题“?x0∈(0，＋∞)，2x0A．?x∈(0，＋∞)，2xB．?x∈(0，＋∞)，2x>x2
C．?x∈(0，＋∞)，2x≥x2
D．?x∈(0，＋∞)，2x≥x2C 互动探究学案命题方向1 ?全称命题、特称命题的否定 写出下列命题的否定，并判定真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)有些实数的绝对值是正数；
(3)某些平行四边形是菱形．
典例 1
[思路分析] 首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式从量词和结论两个方面加以否定．
[解析] (1)存在一个矩形不是平行四边形．假命题．
(2)所有实数的绝对值都不是正数．假命题．
(3)每一个平行四边形都不是菱形．假命题．
『规律方法』 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．〔跟踪练习1〕
写出下列命题的否定．
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；
(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．
[解析] (1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)?p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(4)?p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．命题方向2 ?省略量词的命题的否定 写出下列命题的否定．
(1)可以被5整除的数，末位是0；
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
[思路分析] (1)(2)中均为省略了全称量词的全称命题，书写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不否定量词．
[解析] (1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．典例 2『规律总结』 由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“?x∈M，p(x)”的形式，然后再把它的否定写成“?x0∈M，?p(x0)”的形式．要学会挖掘命题中的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
〔跟踪练习2〕
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
[解析] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，?p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，?p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题．根据全称命题、特征命题的真假求参数的取值范围若含有参数的方程能成立，求参数的取值范围一般转化为求函数的值域；若含有参数的不等式恒成立，则常分离参数求最值． 若命题p：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－2,2)典例 3B 『规律方法』 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．－1≤a≤1 典例 4[错解] 因为x1∈[－1,3]，所以f(x1)∈[0,9]
又因为对?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]
使得f(x1)≥g(x2)，即?x2∈[0,2]1．下列全称命题是真命题的是 ( )
A．所有的质数都是奇数
B．?x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的平行向量均相等
2．命题“?x0∈R，ex0≤0”的否定是 ( )
A．?x∈R，ex>0 B．?x?R，ex>0
C．?x0∈R，ex0>0 D．?x0?R，ex0>0B A
3．(2019·山西太原高二期末)命题：“?x∈R,3x>0”的否定是 ( )
A．?x0∈R,3x0≤0 B．?x0∈R,3x0<0
C．?x∈R,3x≤0 D．?x∈R,3x<0
[解析] 因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：“?x∈R,3x>0”的否定是“?x0∈R,3x0≤0”．故选A．A
4．下列特称命题是假命题的是 ( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数
5．命题“?x∈R，cos x≤1”的否定是___________________.
B ?x0∈R，cosx0>1 课 时 作 业 学 案