第二章 2.1 2.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( D )
A．8 B．12
C．2 D．4
[解析] 把点(－2，)代入＋＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝2，∴2c＝4.
2．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( B )
A．2 B．3
C．4 D．9
[解析] ∵椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝，∴m2＝9，∴m＝3，选B.
3．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝( A )
A．11 B．10
C．9 D．16
[解析] 由方程知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．
4．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
5．方程＋＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是( C )
A．m> B．m>且m≠1
C．m>1 D．m>0
[解析] 方程＋＝1表示椭圆的充要条件是，即m>且m≠1，所以方程＋＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m>1，故选C．
6．(2019·贵州贵阳高二检测)已知两点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( C )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|，动点P的轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆，∴2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝3，方程为＋＝1.
二、填空题
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为__＋＝1__.
[解析] 由题意可得，∴，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴椭圆方程为＋＝1.
8．(2019·福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长半轴长的最小值为__2__.
[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc＝1，因为a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，所以a≥，故长轴长的最小值为2，答案为2.
三、解答题
9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．设椭圆的标准方程为＋＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是( C )
A．k>3 B．3
C．4[解析] 由题意得k－3>5－k>0，∴42．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a、b满足( C )
A．a2>b2 B．<
C．0[解析] 将方程变为标准方程为＋＝1，由已知得，>>0，则03．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( C )
A．7 B．
C． D．
[解析] 由已知得a＝3，c＝.
设|AF1|＝m，则|AF2|＝6－m，
∴(6－m)2＝m2＋(2)2－2m·2 cos 45°，
解得m＝.
∴6－m＝.
∴S△AF1F2＝××2sin 45°＝，故选C．
4．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( C )
A．3 B．3或
C． D．6或3
[解析] 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为×2c×＝.
二、填空题
5．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为__6__.
[解析] 由题意知，c＝1，∴m－5＝1，∴m＝6.
6．(2019·全国Ⅲ卷理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，)__.
[解析] 设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．
因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．
三、解答题
7．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)经过两点A(0,2)、B(，)；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
[解析] (1)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵椭圆过A(0,2)、B.
∴， 解得.
即所求椭圆方程为x2＋＝1.
(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)，
又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，
解得m＝10或m＝－2(舍去)，
即所求椭圆的方程为＋＝1.
8．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos ＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2
＝××＝.
课件52张PPT。第二章圆锥曲线与方程我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆，如果改变平面与圆锥轴线的夹角，又会得到什么图形呢？如图，当截面与圆锥轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
实际上，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨道上运行，太阳系其他行星也是如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星的运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线轨迹运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，构成了我们宇宙的基本形式．
圆锥曲线具有怎样的几何特征？如何研究圆锥曲线的性质呢？2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程自主预习学案
1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为_________________ _______________.也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的______等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，__________间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F1F2|时轨迹为______________，当常数小于|F1F2|时，轨迹__________.
连接这两点的线段 的垂直平分线 和 焦点 两焦点 线段|F1F2| 不存在 3．椭圆的标准方程F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) a2＝b2＋c2 C B [解析] 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，|PF1|＝7，则|PF2|＝2a－|PF1|＝10－7＝3.3．已知点M到两个定点A(－1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是 ( )
A．一个椭圆 B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线 D．直线AB
[解析] ∵|MA|＋|MB|＝2＝|AB|，
∴点M在线段AB上，故选B.B C [解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故选C．8(2)利用两点间的距离公式求出2a，再写方程；也可用待定系数法．
(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)直接求A，B的方程．
『规律方法』 求椭圆的标准方程常用的方法有：定义法和待定系数法．无论何种方法都应做到：
①先定位：即确定焦点的位置，以便正确选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，就需分类讨论，或者利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B))，避免讨论；
②后定量：根据已知条件，列出方程组求解未知数．命题方向3 ?定义法解决轨迹问题 已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[思路分析] 由△ABC的周长等于18，|BC|＝8，可知点A到B、C两个定点的距离之和是10，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，但点A与点B、C不能在同一直线上．适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．典例 3『规律方法』 如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解．
利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．A 椭圆的焦点三角形的性质 典例 4[思路分析] 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用椭圆定义，又可运用正、余弦定理．有时还运用整体思想求|PF1|·|PF2|等．『规律方法』 在解焦点三角形问题时，一般有两种方法：
(1)几何法：
利用两个关系式：
①|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
②利用正余弦定理可得|PF1|、|PF2|、|F1F2|的关系式，然后求出|PF1|、|PF2|.但是，一般我们不直接求出，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体来处理．
(2)代数法：
将P点坐标设出来，利用条件，得出点P的坐标间的关系式，再由点P在椭圆上，代入椭圆方程，联立方程组，解出点P的纵坐标，然后求出面积．典例 5『规律方法』 解决焦点三角形问题时常用椭圆的定义和余弦定理，偶尔也会用正弦定理求解．A 由焦点讨论参数范围时，忽视焦点在坐标轴上的讨论．典例 6[错解分析] 错解1只注意了焦点在y轴上，而没有考虑到m2>0且(m－1)2>0，这是经常出现的一种错误，一定要避免．
错解2中，由a2＝(m－1)2及b2＝m2，应得a＝|m－1|及b＝|m|，m－1与m不一定是正值，上述解法误认为m－1与m是正值而导致错误．B A C 20 课 时 作 业 学 案