第二章 2.1 2.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( D )
A．4 B．5
C．7 D．8
[解析] 由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，
∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a＝2c，∴e＝＝.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，)，(0，－)，
∵b＝2，∴a2＝25，故选B.
4．(2018·全国Ⅰ文，4)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( C )
A． B．
C． D．
[解析]
由题意得焦点在x轴，∵ a2＝4＋22＝8，
∴ a＝2，∴ e＝＝＝.
故选C．
5．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( C )
A．3 B．2
C．2 D．4
[解析] 设椭圆方程mx2＋ny2＝1(m≠n>0)
消x得
(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0
Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0
整理得3m＋n＝16mn
即＋＝16 ①
又c＝2，焦点在x轴上
∴－＝4 ②
由①②解得m＝，n＝，
∴长轴长为2.
6．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，
解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为__＋＝1或＋＝1__.
[解析] ∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.
又两个焦点将长轴三等分，
∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.
∵焦点位置不确定，
∴方程为＋＝1或＋＝1.
8．已知A(2，)是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝__8__，＝____.
[解析] A(2，)是椭圆＋＝1上一点，代入可得：＋＝1，解得m＝8.
∴c＝＝2.
∴F(2,0)．
∴|AF|＝＝.
点F到直线x＝4的距离为d＝2，＝.
故答案为8，.
三、解答题
9．(2019·江苏苏州高二检测)已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直．
(1)求椭圆的离心率；
(2)求△PF1F2的面积．
[解析] (1)由题意可知a2＝49，b2＝24，
∴a＝7，b＝2，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝.
(2)由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由题意可知在Rt△PF1F2中有：|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，
∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96，
∴|PF1||PF2|＝48.
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( C )
A．＋＝1或＋＝1 B.＋＝1
C．＋＝1或＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
[解析] 由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 根据条件可知＝，且4a＝4，
∴a＝，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.
3．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( C )
A．1 B．1或2
C．2 D．0
[解析] 因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
4．(2019·福建龙岩高中高二期中)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 依题意，设P(－c，y0)(y0>0)，
则＋＝1，
∴y0＝，∴P(－c，)，
又A(a,0)，B(0，b)，AB∥OP，
∴kAB＝kop，即＝＝，
∴b＝c.
设该椭圆的离心率为e，则e2＝＝＝＝，
∴椭圆的离心率e＝.
故选C．
二、填空题
5．(2018·浙江，17)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝__5__时，点B横坐标的绝对值最大．
[解析]
如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB>0，yB>0.
∵ P(0,1)，＝2，
∴ (－xA,1－yA)＝2(xB，yB－1)．
∴ －xA＝2xB，
即xA＝－2xB.
设直线AB：y＝kx＋1(k>0)．
将y＝kx＋1代入＋y2＝m，
得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0.(*)
∴ xA＋xB＝－xB＝－，
∴ xB＝＝≤＝2，
当＝4k，即k＝时，xB取到最大值2，
此时方程(*)化为x2＋2x＋2－2m＝0，
xA·xB＝－2x，即2－2m＝－8，
解得m＝5.
当点B在其他象限时，同理可解．
设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由P(0,1)，＝2，得xA＝－2xB.
由得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0，
∴ xA＋xB＝－xB＝，xAxB＝－2x＝.
消去xB，得m＝1＋.
|xB|＝≤≤2，
当|k|＝时，|xB|max＝2，此时m＝5.
6．(2017·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是__(0,1]∪[9，＋∞)__.
[解析] 方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，结合0对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
方法2：当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
三、解答题
7．(2018·北京文，20)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.
[解析] (1)解：由题意得
解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)解：设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝
＝
＝ .
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
(3)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.
直线PA的方程为y＝(x＋2)．
由得
[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.
设C(xC，yC)，
所以xC＋x1＝＝.
所以xC＝－x1＝.
所以yC＝(xC＋2)＝.
设D(xD，yD)，
同理得xD＝，yD＝.
记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，
则kCQ－kDQ＝－
＝4(y1－y2－x1＋x2)．
因为C，D，Q三点共线，
所以kCQ－kDQ＝0.
故y1－y2＝x1－x2.
所以直线l的斜率k＝＝1.
8．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
[解析] (1)解：设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)解：由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，
又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，
代入y＝kx＋2得yP＝，
进而直线OP的斜率为＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，
从而k＝±.
所以，直线PB的斜率为或－.
课件51张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.2 椭圆的简单几何性质自主预习学案“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？
x轴、y轴 原点 [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] (±a,0) (0，±b) (0，±a) (±b,0) 2a 2b (±c,0) (0，±c) 2c C [解析] 由方程可知此椭圆关于坐标轴与原点成轴对称与中心对称图形，所以点(2,3)关于坐标轴或原点的对称点均在椭圆上．B
3．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为 ( )
A．2 B．4
C．6 D．12B B 2 互动探究学案命题方向1 ?根据椭圆的方程研究几何性质 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．典例 1『规律方法』 由椭圆方程讨论其几何性质的步骤：
(1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上．
(2)由标准形式求a、b、c，写出其几何性质．命题方向2 ?利用椭圆的几何性质求标准方程典例 2『规律方法』 已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式；(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出参数a、b、c；(3)写出标准方程．命题方向3 ?求椭圆的离心率 A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．典例 3
D 命题方向4 ?直线与椭圆的位置关系典例 4[思路分析] 第一步，审题：审结论明确解题方向，求m的取值范围，需利用条件建立关于m的不等式求解；审条件，发掘解题信息，直线与椭圆有公共点，则联立方程组有解，焦点在x轴上，则x2项的分母较大．
第二步，建联系，找解题突破口，确定解答步骤．由直线过定点，若定点在椭圆上或椭圆内，则直线与椭圆有公共点；将直线与椭圆方程联立消元，当Δ≥0时，直线与椭圆有公共点．
第三步，规范解答．〔跟踪练习4〕
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．椭圆中的最值问题1．与椭圆有关的最值问题具有较强的综合性，涉及数学知识的许多知识点，如几何、三角、函数、不等式等，也与椭圆的定义、方程联系密切，思维能力要求比较高．
2．常用的方法如下：
(1)利用定义转化为几何问题处理．
(2)利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解．
(3)利用函数最值的探求方法，将其转化为闭区间上的二次函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x，y的范围．
(4)利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理．3．椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题．
椭圆上一动点与焦点的距离常称为焦半径．椭圆上一动点与长轴两端点重合时，动点与焦点取得最大距离a＋c(称远日点)、最小距离a－c(称近日点)．推导如下： 已知点P在椭圆4x2＋9y2＝36上，求点P到直线l：x＋2y＋15＝0的距离的最大值和最小值．典例 5『规律方法』 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切还是相离．
(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是应用根与系数的关系写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．忽视焦点位置致误典例 6[错解分析] 上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上．D D B (±3,0)，(0，±4) 课 时 作 业 学 案
