第二章 2.2 2.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1或－＝1 D．以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( C )
A．2 B．2
C．4 D．4
[解析] 双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为－＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4.
3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( C )
A．(，＋∞) B．(，2 )
C．(1，) D．(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝.
∴c2＝＝1＋.
∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，
∴14．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )
A． B．2
C． D．2
[解析]
由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2，
故选D.
5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( A )
A． B．
C．2 D．3
[解析] 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A．
6．以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( D )
A．(x－2)2＋y2＝4 B．x2＋(y－2)2＝2
C．(x－2)2＋y2＝2 D．x2＋(y－2)2＝4
[解析] 双曲线y2－＝1的焦点为(0，±2)，e＝2，故选D.
二、填空题
7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是__y＝±x__.
[解析] 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝__1__；b＝__2__.
[解析] 由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；
(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．
[解析] (1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，
∴c2＝a2＋b2＝5，
∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示( D )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线
[解析] 方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D.
2．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( C )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．
双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C．
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1、F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( A )
A．(－，) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
[解析] 由双曲线方程可知F1(－，0)、F2(，0)，
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)<0，
即x＋y－3<0，∴2＋2y＋y－3<0，y<，
∴－4．(2019·河南洛阳市高二期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F的直线切圆x2＋y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] ∵过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，
左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为P，
∴|OP|＝a，
设双曲线的右焦点为F′，
∵P为线段FQ的中点，
∴|QF′|＝2a，|QF|＝2b，
由双曲线的定义知：2b－2a＝2a，
∴b＝2a.
∴双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，
即2ax±ay＝0，
∴2x±y＝0.
故选B.
二、填空题
5．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为__y＝±x__.
[解析] ∵方程表示双曲线，∴m>0，∵a2＝9，b2＝m，
∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝，
∵双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
6．(2018·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0) 到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为__2__.
[解析]
双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝＝b.∴ b＝c，∴ a＝＝c，∴ e＝＝2.
三、解答题
7．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
[解析] 因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)、F2(c,0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以·＝0，即－c2＋25＝0.
所以c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
8．(2019·云南元谋一中期中)双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，其斜率为－，求双曲线的离心率．
[解析] (1)由题意，＝1，c＝2，a2＋b2＝c2，
∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)由题意，设A(m，n)，则kOA＝，从而n＝m，m2＋n2＝c2，∴A(c，)，
将A(c，)代入双曲线－＝1得：－＝1，
∴c2(3b2－a2)＝4a2b2，
且c2＝a2＋b2，∴(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
∴3b4－2a2b2－a4＝0，
∴3()4－2()2－1＝0，
∴＝1从而e2＝1＋＝2，∴e＝.
课件68张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质自主预习学案凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
1．双曲线的简单几何性质x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a x y 原点 x y 原点 (－a,0)、(a,0) (0，－a)、(0，a) (4)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上．
(5)双曲线中a、b、c的几何意义及特征三角形：
①当双曲线焦点在x轴上时，a是实半轴长，b是虚半轴长，且c2＝a2＋b2，所以以a、b、c为三边长可构成直角三角形，如图，其中Rt△OA2B2称为双曲线的特征三角形．
②当双曲线的焦点在y轴上时，可得类似结论．
(6)双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近．A [解析] ∵双曲线的顶点在x轴上，又a＝5，∴选A．C A B 互动探究学案命题方向1 ?根据双曲线方程研究其几何性质 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[思路分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依据各几何量的定义作答．典例 1
〔跟踪练习1〕
求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．命题方向2 ?利用几何性质求双曲线的标准方程典例 2
命题方向3 ?双曲线的离心率典例 3
A D 命题方向4 ?实际应用问题 如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°.怎样运土才能最省工？典例 4[思路分析] 半圆形横截面上的点可分三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P较近；(3)沿AP或BP到P等距离，其中第三类的点位于前两类点的分界线上．『规律方法』 解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型，用数学知识解决，最后再回归到实际问题中．要注意实际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义． 已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．命题方向5 ?直线与双曲线的位置关系典例 5C 双曲线中的中点弦问题 已知双曲线方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程．
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使直线l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．典例 6『规律方法』 (1)设出直线方程与双曲线方程联立，应用根与系数的关系求解；(2)首先假设符合条件的直线存在，抓住中点这一条件求解；(3)有关中点弦问题，应用点差法往往比较简单，但注意验证直线是否满足条件．
〔跟踪练习6〕
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x－2y＝0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．注意双曲线的焦点位置典例 7C C A 4 5．求双曲线y2－2x2＝1的离心率和渐近线方程．课 时 作 业 学 案
