第二章 2.3 2.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )
A．直线 B．椭圆
C．线段 D．抛物线
[解析] 因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．
2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为( B )
A．(1,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(－1,0)
[解析] 因为准线方程为x＝－2＝－，
所以焦点为(，0)，即(2,0)．
3．抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为( C )
A． B．1
C．2 D．4
[解析] 抛物线x2＝4y中，P＝2，∴焦点到准线的距离为2.
4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( C )
A．(1,0) B．
C． D．
[解析] 抛物线的标准方程为x2＝y，∴p＝，且焦点在y轴的正半轴上，故选C．
5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( A )
A．0 B．
C． D．
[解析] 设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( C )
A．2 B．2
C．2 D．4
[解析] 抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，
∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.
二、填空题
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__2__，准线方程为__x＝－1__.
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为__x＝－2__(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．
[解析] 由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.
三、解答题
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切．
[证明] 设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|.
∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，
∴|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( B )
A． B．
C．2 D．2
[解析] ∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝，
又＝，结合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝，故选B.
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( D )
A．2 B．2
C． D．1
[解析] 本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( D )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[解析] 抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，∴c＝2，其右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
4．(2019·山西太原高二期末)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P，使得⊥，则E的离心率的取值范围是( B )
A．(1,2) B．(1，]
C．[，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析] 由题意得，A(a,0)，F(2a,0)，设P(x0，x0)，由⊥，得·＝0?x－3ax0＋2a2＝0，因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，即9a2－4×2a2×≥0?9a2≥8c2?e2≤?e≤，又因为E为双曲线，则1二、填空题
5．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是__x2＝12y__.
[解析] 抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－，
由题意得3－(－)＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.
6．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是__y2＝16x__.
[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x.
三、解答题
7．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.求抛物线方程和m的值．
[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，
由题意知，
解得，或 .
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
解法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，准线方程x＝.
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，
即点M到准线的距离等于5，
则3＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2，
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
8．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要0.5 m．若行驶车道总宽度AB为6 m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到0.1 m)
[解析] 取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，C(4，－4)，
设抛物线方程x2＝－2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，
∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6 m，
∴将x＝3代入抛物线方程，y＝－2.25 m，
∴限度为6－2.25－0.5＝3.25 m
则车辆通过隧道的限制高度是3.25米．
课件41张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程自主预习学案
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹．
(2)焦点：_________叫做抛物线的焦点．
(3)准线：___________叫做抛物线的准线．
相等 定点F 定直线l 2．抛物线的标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是 ( )
A．(0,2) B．(0,1)
C．(2,0) D．(1,0)
[解析] 由题意得2p＝4，p＝2，抛物线的焦点坐标为(1,0)．D C D x2＝－12y 5．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．互动探究学案命题方向1 ?求抛物线的焦点及准线 设抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程．典例 1『规律方法』 求抛物线的焦点及准线的步骤：
(1)把解析式化为抛物线标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．(0，－2) 命题方向2 ?抛物线的标准方程典例 2[思路分析] 求解这类问题，应首先由已知条件设出标准方程，再根据已知条件求出参数p，最后写出结论，根据已知条件，确定是四种形式中的哪一种是关键：(1)中直线与坐标轴有两个交点(4,0)，(0,3)，也就有两种情况，(2)开口向左，(3)开口向上，(4)有四种情况．『规律方法』 求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p.
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.
当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my.
已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．〔跟踪练习2〕
求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．命题方向3 ?抛物线定义的应用 (1)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 ( )
A．4 B．6
C．8 D．12
(2)过点A(1,0)，且与直线l：x＝－1相切的圆的圆心的轨迹是 ( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线典例 3B D [思路分析] (1)根据点P到y轴的距离求出它到抛物线准线的距离，利用抛物线定义转化为它到焦点的距离．
(2)根据动圆过点A，且与直线l相切，可知圆心到点A的距离等于它到直线l的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹是抛物线．[解析] (1)抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，因为点P到y轴的距离是4，故点P到准线的距离是6，根据抛物线的定义知点P到该抛物线焦点的距离是6.
(2)如图，设动圆的圆心为M，由题意，M到直线l的距离等于圆的半径|MA|，由抛物线的定义知，点M的轨迹是以A(1,0)为焦点，以直线l为准线的抛物线．『规律方法』 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来方便．要注意灵活运用定义解题．〔跟踪练习3〕
(1)已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝_____；
(2)(湖南浏阳一中醴陵一中2018年高二联考)已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_____.3 2 抛物线在实际问题中的应用 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，求水面的宽度．
[思路分析] 先建立平面直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得p，得到抛物线方程，再把y＝－3代入抛物线方程求得x0，进而得到答案．典例 5『规律方法』 抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．〔跟踪练习4〕
如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1) 图(2) 考虑问题要全面 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．典例 5[错解分析] 题目条件中未给出m的符号，当m>0或m<0时，抛物线的准线不同，错解考虑问题欠周到．D B 4 5．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．课 时 作 业 学 案
