第二章 2.3 2.3.2
作业1
A级 基础巩固
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小( C )
A．小于90° B．等于90°
C．大于90° D．不能确定
[解析] 过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.
2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝( B )
A．13 B．
C．6 D．4
[解析] 代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝.
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( B )
A．(，±) B．(，±)
C．(，) D．(，)
[解析] 设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(，0)，∴x0＝，
∴y＝，∴y0＝±，故选B.
4．(2019·全国Ⅱ卷理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( D )
A．2 B．3
C．4 D．8
[解析] 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，
椭圆＋＝1的焦点坐标为.
由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.
5．(2019·山东潍坊高二期末)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B，则|AB|＝( D )
A．8 B．
C．16 D．
[解析] 抛物线C：y2＝4x的焦点(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵过F且倾斜角为60°的直线为y＝(x－1)，
∴，整理得3x2－10x＋3＝0，
由韦达定理可知x1＋x2＝，
由抛物线的定义可知：|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋＝.
故选D.
6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( B )
A． B．2
C． D．3
[解析] 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.故选B.
二、填空题
7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1__条．
[解析] ∵点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．
8．(2018·北京文，10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__(1,0)__.
[解析]
由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
三、解答题
9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[解析] (1)因为抛物线方程为y2＝6x，所以准线方程为x＝－，F(，0)，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率为k＝tan60°＝，所以焦点l的方程为y＝(x－)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，消去y得x2－5x＋＝0，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，
于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以中点M到准线的距离为3＋＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( C )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[解析] 由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
2．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为( B )
A． B．2
C． D．3
[解析] F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为＝2.
3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是( B )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
[解析] 设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由，得A(2p,2p)．
则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.
所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.
4．设抛物线y2＝2x的焦点为F，互相垂直的两条直线过F，与抛物线相交所得的弦分别为AB，CD，则|AB|·|CD|的最小值为( A )
A．16 B．8
C．4 D．2
[解析] 设AB倾斜角为α，则|AB|＝，因为AB，CD垂直，所以|CD|＝，因此|AB|·|CD|＝＝≥16，选A．
二、填空题
5．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__(x－1)2＋y2＝4__.
[解析] ∵ 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴ 圆的圆心坐标为(1,0)．
又∵ 圆与l相切，∴ 圆心到l的距离为圆的半径，
∴ r＝2.
∴ 圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
6．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为____.
[解析] 设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝＝＝.∴当x0＝时，dmin＝.
三、解答题
7．(2018·全国Ⅱ文，20)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析] (1)解：由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)解：由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
8．(2019·中山一中检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．
[解析] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x，
整理得：y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4.
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋1
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，整理得：y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4b.
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2
＝－4tb2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
令b2－4b＝－4，解出b＝2
∴直线l过定点(2,0)．
∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．
作业2
A级 基础巩固
一、选择题
1．焦点在x轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为( D )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝±2x D．y2＝±4x
[解析] 根据焦点到准线的距离为2，可得p＝2,2p＝4，结合抛物线焦点所在轴以及开口方向，即可求得抛物线的方程为y2＝±4x，选D.
2．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( A )
A．直线 B．抛物线
C．圆 D．双曲线
[解析] ∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．
3．(2019·福州市八县协作校期末联考)已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( A )
A．x＝－1 B．x＝－3
C．x＝－1或x＝－3 D．y＝－1
[解析] 由题意∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，
过A作准线的垂直AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B.
A点到准线的距离为：d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，
解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1.
故选A．
4．△ABC中，A(－5,0)、B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝( D )
A． B．±
C．－ D．±
[解析] 在△ABC中，sinA＝，sinB＝，sinC＝＝.
∴＝＝.
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴＝±＝±.
5．设F为双曲线－＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，
|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，
所以|FN|－|FM|＝8，＝＝，选D.
6．(2019·全国Ⅰ卷理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( B )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，
∴点A是椭圆的短轴端点，如图．
不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，得
a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
二、填空题
7．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为__＋x2＝1__.
[解析] 由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
8．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是__2__.
[解析] 由|AF|＝4及抛物线定义得A到准线的距离为4.
∴A点横坐标为－2，∴A(－2,4).
又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，
所以|PA|＋|PO|的最小值为：
|AB|＝＝2.
三、解答题
9．已知椭圆C的两焦点分别为F1(－2，0)、F2(2，0)，长轴长为6.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长．
[解析] (1)由F1(－2，0)、F2(2，0)，长轴长为6，
得：c＝2，a＝3，所以b＝1.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)可知椭圆方程为＋y2＝1①，
∵直线AB的方程为y＝x＋2②
把②代入①得化简并整理得10x2＋36x＋27＝0
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
又|AB|＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．椭圆＋＝1的一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是( D )
A．x－2y＝0 B．2x＋y－10＝0
C．2x－y－2＝0 D．x＋2y－8＝0
[解析] 设弦的两个端点M(x1，y1)，N(x2，y2)则有，两式相减得＋＝0，
整理得＝－·＝－，
即弦所在直线的斜率为k＝－，
利用点斜式方程求得y－2＝－(x－4)，
整理得x＋2y－8＝0，故选D.
2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝±4，
∴A(±4,4)，焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为＝＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
3．(2019·北京昌平区高二检测)过抛物线y2＝8x的焦点且倾斜角为45°的直线l，交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为( B )
A．8 B．16
C．24 D．32
[解析] 由题意可知，直线l的方程为y＝x－2.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由，得x2－12x＋4＝0，∴x1＋x2＝12.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝16.
4．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是( C )
A．k2－e2>1 B．k2－e2<1
C．e2－k2>1 D．e2－k2<1
[解析] 直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－1.
二、填空题
5．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为__y2＝12x或y2＝－4x__.
[解析] 设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)①
直线变形为y＝2x＋1②
设抛物线截直线所得弦长为d
消y得(2x＋1)2＝ax
整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0
d＝＝
解得a＝12或a＝－4
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
6．(2019·天津改编，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为____.
[解析] 由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.
三、解答题
7．(2019·全国Ⅰ卷理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
[解析] 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.
8．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，
∴b＝4，
又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．
课件56张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质自主预习学案大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？
1．抛物线的简单几何性质x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 x y (0,0) 1 2．焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l________；
(2)|AB|＝____________＝x1＋x2＋p；
(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝______，y1·y2＝_______.相切 －p2 1．顶点在原点，对称轴是y轴，且通径为2的抛物线的标准方程为 ( )
A．x2＝±2y B．x2＝±y
C．y2＝±x D．y2＝±2x
[解析] 由题意，设标准方程为x2＝±2py(p>0)，
∵2p＝2，∴x2＝±2y.A A [解析] ∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，
∴抛物线的方程为标准形式．
当抛物线的焦点在x轴上时，
∵抛物线过点(－1,2)，
∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为 ( )
A．6 B．7
C．8 D．12
[解析] 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线l：x＝－2，∴点P到准线l的距离为4－(－2)＝6，故|PF|＝6.A 4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ( )
A．8 B．16
C．32 D．61
[解析] 由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.
代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
B 5．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．互动探究学案命题方向1 ?待定系数法求抛物线的标准方程典例 1『规律方法』 由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时，应先确定其形式，再由条件确定待定系数．[思路分析] 由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p.命题方向2 ?抛物线的焦点弦与焦半径问题
2．求抛物线的焦点弦长有两种方法：一是根据直线被二次曲线所截得弦的弦长公式；二是根据抛物线的焦半径直接得到弦长，用前面的方法在使用根与系数的关系整体代入时要用到两根之和与两根之积，用后面这个方法仅仅用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求抛物线的焦点弦长时一般是用后面这种方法． 求过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦长的最小值．典例 2解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A、E、B作准线l的垂线，垂足为D、H、C，由抛物线定义知|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.
由图可知|HE|≥|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|＝|GF|，即|AB| min＝2|GF|＝2p.『规律方法』 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．〔跟踪练习2〕
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，求p的值．『规律方法』 根据条件写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后根据直线被曲线所截得的弦长公式求解或利用焦点弦的性质求解．命题方向3 ?最值问题与抛物线有关的定点、定值问题
(1)从特殊入手，求出定点(或定值)，再证明这个点(或值)与其他变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去有关变量，从而得到定点或定值． 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．典例 3『规律方法』 与抛物线有关的最值问题，一是涉及焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常转化为函数最值求解．C 与抛物线有关的定点、定值、最值问题与抛物线有关的最值问题
(1)最值问题
求解最值问题常用方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．
(2)常见题型及处理方法
①求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．
②求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．
③求抛物线弦长的最值问题可利用函数求最值的方法求解． 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．典例 5
审条件，挖掘解题信息，已知直线AB、AC过定点，AB与AC两直线倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示．
第二步，建联系确定解题步骤．先设直线AB的斜率为k，用k将AB、AC的方程表示出来，再由直线与抛物线交于两点，利用根与系数的关系求得B、C点的坐标，然后验证kBC与k无关．
第三步，规范解答． [点评] 自己试一下，将直线与抛物线的方程联立后消去x解答，并比较两种解法，你有什么体会？『规律方法』 解析几何中，常遇到定点、定值问题，解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数，将题中定值(或过定点的几何对象)用参数表示，然后说明与参数无关，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等．
〔跟踪练习4〕
过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB.求证：直线AB过抛物线对称轴上的一定点．
[思路分析] 要证直线AB过定点，可先求得直线AB的方程，再求其过定点．『规律方法』 (1)求抛物线方程时，先定型，再定量．(2)引进直线AB的斜率k，把|MN|表示为斜率k的函数，求最值时利用换元法最终转化为二次函数求最值．(3)设而不求和分类讨论是解决此类问题的常用方法．忽略对直线斜率的讨论 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．典例 5[错解分析] 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是 ( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6yC C B 课 时 作 业 学 案
