第三章 3.1 3.1.1、2
A级 基础巩固
一、选择题
1．在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx的取值为( D )
A．Δx>0 B．Δx<0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[解析] Δx可正也可负，但是不可以为0，故选D.
2．(2019·滁州民办高中检测)设f(x)是可导函数，且 ＝2，则f′(x0)＝( B )
A． B．－1
C．0 D．－2
[解析]
因为
＝－2 ＝－2f′(x0)＝2
所以f′(x0)＝－1，故选B.
3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为( A )
A．f ′(x0)＝
B．f ′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]
C．f ′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
D．f ′(x0)＝
[解析] B中[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的极限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表示函数值的变化量；D中表示函数的平均变化率．
4．(2019·杭州高二检测)设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
[解析] ∵函数f(x)＝x2－1的自变量x由1变成1.1，所以Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，
∴＝＝2.1.故选A．
5．已知f(x)＝x2－3x，则f ′(0)＝( C )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
[解析] f ′(0)＝
＝ ＝ (Δx－3)＝－3.故选C．
6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( C )
A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b
C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b
[解析] ∵f ′(x0)＝
＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.
∴f ′(x0)＝a.
二、填空题
7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝__(Δx)2＋6Δx＋12__.
[解析] ∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴＝(Δx)2＋6Δx＋12.
8．(2019·阿拉善左旗校级期末)若函数y＝x2－1的图象上的点A(1,0)，则当Δx＝0.1时的平均变化率是__2.1__.A点处的导数是__2__.
[解析] Δy＝(1＋Δx)2－1＋1＝2Δx＋Δx2，
∴＝2＋Δx，
当Δx＝0.1时，平均变化率为2.1，
∵y′＝2x，
∴y′|x＝1＝2，
故答案为2.1,2.
三、解答题
9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解析] 由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，
∴＝＝－1－Δt.
∴v＝ ＝ (－1－Δt)＝－1.
∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
B级 素养提升
一、选择题
1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( C )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt D．12
[解析] ＝
＝12＋2Δt.
2．做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是：s＝3t－t2，则它的初速度是( B )
A．0 B．3
C．－2 D．3－2t
[解析] 初速度即为t＝0时的瞬时速度，
＝＝＝3－Δt2.
当Δt趋近于0时，趋近于3，故它的初速度为3.
3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( B )
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h都无关
[解析] 由导数的定义可知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故选B.
4．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝( C )
A．－1 B．
C．1 D．
[解析] ∵f′(－1)＝
＝ ＝3a，∴3a＝3，解得a＝1.故选C．
5．若 ＝1，则 ＝( D )
A．1 B．－1
C． D．－
[解析] ＝
＝－＝－
＝－.故选D.
二、填空题
6．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为__0_m/s__.
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2，
∴＝＝－4Δt，∴v＝ ＝ (－4Δt)＝0.
∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0 m/s.
7．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____.
[解析] ∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
三、解答题
8．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)
s＝.
求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]时的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速率为－12 m/s.
课件43张PPT。第三章导数及其应用莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646－1716)是17,18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才．他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献．莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭.15岁时，他进了莱比锡大学学习，他广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著作进行深入的思考和评价．在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣.17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位.20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学．这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》．
这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果. 1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员．此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学.1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长.1700年被选为巴黎科学院院士，建立了柏林科学院并任首任院长．
3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念自主预习学案
函数值 自变量 平均变化率 某一点 f′(x0) 瞬时变化率 1．(2019·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足 ( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[解析] 由导数的定义，可得自变量x的增量Δx可以是正数、负数，不可以是0.
故选D.D 2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 ( )
A．0.41 B．2
C．0.3 D．0.2B
3．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为 ( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[解析] 根据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
D 4．某物体做匀速直线运动，其方程为s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任意时刻的瞬时速度的关系是________.相等 互动探究学案命题方向1 ?平均变化率典例 1[思路分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
〔跟踪练习1〕
某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为 ( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6D 命题方向2 ?瞬时变化率即瞬时速度典例 2[思路分析] 欲求瞬时速度，先求平均速度，然后正确求解其趋向值即可．
D 命题方向3 ?导数的概念典例 3[思路分析] 问题只给出了一个孤立的点，而非变化范围，所以要先构造点附近的一个变化范围，以便求解平均变化率，从而利用定义求函数在此点处的导数．
〔跟踪练习3〕
求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．导数的应用求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很容易误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动．典例 4『规律总结』 利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来．
由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的．[分析] 解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．准确把握概念的本质含义典例 5[错解分析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函数值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0＝－Δx.B C 50 m/s 2 5．(2019·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度．课 时 作 业 学 案
