第三章 3.1 3.1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是( C )
A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
[解析] 由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f ′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为( B )
A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)
C．(2,8) D．(－，－)
[解析] ∵y＝x3，
∴y′＝ ＝
＝ (Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2.
令3x2＝3，得x＝±1，
∴点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．
3．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( B )
A．3,3 B．3，－1
C．－1,3 D．－1，－1
[解析] 由已知得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，
故选B.
4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( A )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
[解析] ∵f ′(x)
＝
＝
＝ (Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)
＝3x2－2，
∴f ′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y＝x－1.
5．已知曲线f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析] Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，
∴＝x＋Δx＋2，∴f ′(x)＝ ＝x＋2.
设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝x0＋2.
由已知x0＋2＝4，∴x0＝2，故选D.
6．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( B )
A．0B．0C．0D．0[解析] 从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝__12__.
[解析] f ′(2)＝
＝
＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]
＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.
8．设函数y＝f(x)，f ′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是____.
[解析] 由于f ′(x0)>0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角．
三、解答题
9．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程．
[解析] ∵f ′(x)＝
＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
又点A(2,4)在曲线y＝x2上，
∴f ′(2)＝4，∴所求切线的斜率k＝4，
故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( A )
A．1 B．
C．－ D．－1
[解析] ∵y′|x＝1＝
＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
2．已知抛物线y＝f(x)＝x2与直线y＝2x＋b相切，若f′(x0)＝2，则x0＝( D )
A．－1 B．2
C．－ D．1
[解析] 由消去y，得x2－2x－b＝0，①∵抛物线y＝x2与直线y＝2x＋b相切，∴Δ＝4＋4b＝0，解得b＝－1.此时，方程①的根为x＝1，∴切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f′(1)＝2，∴x0＝1.
3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] 由导数的定义可得y′＝3x2，
∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，
由条件知，3×＝－1，∴＝－.
4．(2019·汉中高二检测)曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( B )
A．1 B．
C． D．－
[解析] ∵y′＝
＝[x2＋xΔx＋(Δx)2]＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为( A )
A． B．[－1,0]
C．[0,1] D．
[解析] 设点P(x0，y0)，则
f′(x0)＝
＝
＝
＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
结合导数的几何意义可知0≤2x0＋2≤1，
解得－1≤x0≤－，选A．
二、填空题
6．(2019·西宁市二十一中检测)已知f(x)＝x3－3x，过点A(－2，－2)作函数y＝f(x)图象的切线，则切线方程为__y＝9x＋16或y＝－2__.
[解析]
由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，当点A为切点时，f′(－2)＝9，得到切线的斜率为9，所求的切线方程为y＝9x＋6，当A点不是切点时，设切点为(m，m3－3m)则切线的斜率为3m2－3，切线方程为y－(m3－3m)＝(3m2－3)(x－m)而切线过(－2，－2)，代入得－2＋3m－m3＝－6m2－3m3＋6＋3m，解得m＝1或－2(舍去)，∴切点为(1，－2)，斜率为0，所求的切线方程为y＝－2，故答案为y＝9x＋16或y＝－2.
7．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、x＝2所围成的三角形的面积为____.
[解析] y′＝ ＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝××4＝.
三、解答题
8．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．
(1)求切点的坐标；
(2)求a的值．
[解析] (1)设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．
f ′(x)＝
＝
＝3x2－2x.
由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.
当x0＝1时，y0＝1，此时a＝0(舍去)
于是切点的坐标为.
(2)当切点为时，＝－＋a，a＝.
∴a的值为.
课件45张PPT。第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义自主预习学案
1．导数的几何意义
(1)切线的定义如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的__________称为点P处的切线．直线PT f′(x)
1．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 ( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析] 曲线在点(x0，f(x0))的切线斜率为0，切线平行或重合于x轴．
B 2．(2019·福建福州高二检测)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则 ( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[解析] ∵曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝2，∴f′(x0)＝2，故选A．A x＋y－2＝0 4．求曲线y＝x2＋1在点P(1,2)处的切线的斜率k.互动探究学案命题方向1 ?导数几何意义的理解 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )典例 1A
[思路分析] (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？
[解析] 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．
『规律方法』 1． f ′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．
2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．〔跟踪练习1〕
已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是 ( )
A．f ′(xA)>f ′(xB)
B．f ′(xA)＝f ′(xB)
C．f ′(xA)D．f ′(xA)与f ′(xB)大小不能确定
[解析] 由y＝f(x)的图象可知，在A，B点处的切线斜率kA>kB，根据导数的几何意义有：f ′(xA)>f ′(xB)．A 命题方向2 ?求切线方程 已知曲线C：f(x)＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
(2)求过点(1,1)与曲线C相切的直线方程．典例 2『规律方法』 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(3)利用Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)；
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．命题方向3 ?求切点坐标 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平分，求x0的值．典例 3『规律方法』 求切点坐标可以按以下步骤进行：
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．〔跟踪练习3〕
已知抛物线f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．导数几何意义的综合应用导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题． 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．典例 4『规律总结』 1.导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值 .
2．运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．
3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．B 审题要细致 试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．典例 5[错解分析] 上述解法错在将点(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再据不同情况求解．C D 135° 3 5．(2019·威海高二检测)已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．课 时 作 业 学 案
