第三章 3.2 3.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．设y＝e3，则y′等于( C )
A．3e2 B．e2
C．0 D．以上都不是
[解析] ∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.
2．(2019·广西南宁高二检测)若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为( B )
A．2x B．2
C．3 D．4
[解析] f′(x)＝2x，
∴f(x)在x＝1处的导数为f′(1)＝2.
3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( B )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[解析] ∵f ′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．
4．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ②y′＝；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正确的．
5．下列结论正确的是( A )
A．若y＝sin x，则y′＝cos x B．若y＝cos x，则y′＝sin x
C．若y＝，则y′＝ D．若y＝，则y′＝
[解析] ∵B项中，y′＝－sin x；C项中，y′＝－；
D项中，y′＝，∴选A．
6．(2019·滁州民办高中检测)已知函数h(x)＝，则h′(4)等于( C )
A．－ B．
C．－ D．
[解析]
因为h(x)＝＝4x－，所以h′(x)＝4×(－)x－，h′(4)＝4×(－)×4－＝－.故选C．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3则a的值为__3__.
[解析] f′(x)＝a(lnx＋x·)＝a(1＋lnx)，
∵f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.
8．函数y＝sin π，则y′＝__0__.
[解析] y＝sin π＝0，∴y′＝0.
三、解答题
9．求曲线y＝cos x在x＝处的切线方程．
[解析] ∵y＝cos x，∴y′＝－sin x.
∴曲线y＝cos x在x＝处的切线的斜率
k＝－sin＝－.
又当x＝时，y＝cos＝，
故曲线在x＝处的切线方程为
y－＝－(x－)，
即y＝－x＋＋.
B级 素养提升
一、选择题
1．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( C )
A．1 B．－
C． D．
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
2．(2019·武汉期末)若f(x)＝x5，f ′(x0)＝20，则x0的值为( B )
A． B．±
C．－2 D．±2
[解析] 函数的导数f ′(x)＝5x4，
∵f ′(x0)＝20，
∴5x＝20，得x＝4，
则x0＝±，
故选B.
3．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为( D )
A．(，) B．(－，－)或(，)
C．(2kπ＋，) D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)
[解析] 设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cos x0＝，
∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.
4．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( D )
A．e2 B．2e2
C．e2 D．
[解析] ∵y′|x＝2＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
故切线与坐标轴围成三角形面积为×|－e2|×1＝，故选D.
5．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( C )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
[解析] 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴ f′(π)＝－2，∴ 曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
故选C．
二、填空题
6．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__(1,1)__.
[解析] 由于(ex)′＝ex，()′＝－，故曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1，设P(x0，)，曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率－，若两直线垂直则有1×(－)＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．
7．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为__(2,1)__.
[解析] 设P(x0，y0)，
∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan 135°＝－1，
∴－8x＝－1.
∴x0＝2，y0＝1.
三、解答题
8．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；
(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
[解析] (1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，
∴切线方程y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，
∴(x－1)2(x＋2)＝0，
∴x1＝1，x2＝－2.
∴其他公共点为(－2，－8)．
课件35张PPT。第三章导数及其应用3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式自主预习学案
0 1 2x 2．基本初等函数的导数公式0 axlna αxα－1 ex cos x －sin x D A D
4．若f(x)＝tan x, f ′(x0)＝1，则x0的值为__________________.x0＝kπ，k∈Z 5．求下列函数的导数：
(1)y＝a2(a为常数)；
(2)y＝x12；
(3)y＝x－4；
(4)y＝lg x.互动探究学案命题方向1 ?求基本初等函数的导数典例 1『规律方法』 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．命题方向2 ?求某一点处的导数典例 2『规律方法』 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：
(1)先求函数的导函数；
(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．命题方向3 ?利用导数公式求切线方程典例 3『规律方法』 1.求切线方程的步骤：
(1)利用导数公式求导数．
(2)求斜率．
(3)写出切线方程．
注意导数为0和导数不存在的情形．
〔跟踪练习3〕
(2019·全国卷Ⅰ文，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为_________.
[解析] ∵ y＝3(x2＋x)ex，∴ y′＝3(x2＋3x＋1)ex.
令x＝0，得切线的斜率为k＝y′|x＝0＝3.又切点坐标为(0,0)，
∴ 切线方程为y＝3x.y＝3x 导数的应用 已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
[思路分析] 由条件知B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．
[解析] 由于点B(3,5)不在曲线上，所以点B不是切点，设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，
∴切线斜率为k＝2x0，典例 4『规律方法』 求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：
①设出切点坐标为(x0，y0)；
②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
③代入点P的坐标，求出x0、y0.〔跟踪练习4〕
已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
[解析] 由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令x＝2－x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，
即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，
联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，
∴f ′(x)＝2x，f ′(2)＝4，即所求切线斜率为4，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.准确应用公式 求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．
[错解] ∵y′＝(2x)′＝x·2x－1，∴y′|x＝1＝1，又x＝1时，y＝2，
∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
[错解分析] y＝2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数y＝xα(α∈Q)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的导数公式记混用错．
[正解] ∵y′＝(2x)′＝2xln 2，∴y′|x＝1＝2ln 2，
又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝2ln2 (x－1)，即2xln 2－y－2ln 2＋2＝0.典例 5A D D 5．(2019·沈阳高二检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，求h′(1)的值．[解析] 由题图可知曲线的切线l经过点(1,2)，则k＋3＝2，得k＝－1，
即f ′(1)＝－1，且f(1)＝2，
因为h(x)＝xf(x)，所以h′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，
则h′(1)＝f(1)＋f ′(1)＝2－1＝1.课 时 作 业 学 案
