第三章 3.2 3.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为( B )
A．4 B．8
C．10 D．12
[解析] s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，
∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.
2．函数y＝x·ln x的导数是( C )
A．y′＝x B．y′＝
C．y′＝ln x＋1 D．y′＝ln x＋x
[解析] y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1.
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值是( D )
A． B．
C． D．
[解析] f ′(x)＝3ax2＋6x，
∵f ′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝.
4．(2019·邵阳三模)已知函数f(x)＝f ′(－2)ex－x2，则f ′(－2)＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] f ′(x)＝f ′(－2)ex－2x；
∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e－2－2·(－2)；
解得f ′(－2)＝.
故选D.
5．(2019·揭阳一模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f ′(α)＝3f(α)，则tan2α＝( A )
A．－ B．－
C． D．
[解析] f ′(x)＝cosx＋sinx；
∴f ′(α)＝cosα＋sinα；
又f ′(α)＝3f(α)；
∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；
∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；
∴tan2α＝＝－.
故选A．
6．若函数f(x)＝f ′(1)x3－2x2＋3，则f ′(1)的值为( D )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[解析] ∵f ′(x)＝3f ′(1)x2－4x，
∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2.
二、填空题
7．(2018·全国Ⅱ文，13)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为__y＝2x－2__.
[解析]
因为y′＝，y′＝2，
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
8．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝__2__.
[解析] ∵f′(x)＝(xsin x)′＝x′sin x＋x·(sin x)′
＝sin x＋xcos x
∴f′()＝sin＋cos＝1.
又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
∴1×(－)＝－1，∴a＝2.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
[解析] 由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f ′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
可知－6－f(－1)＋7＝0，
即f(－1)＝1，f ′(－1)＝6.
∴，即，解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
B级 素养提升
一、选择题
1．不可能以直线y＝x＋b作为切线的曲线是( C )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝ex
[解析] 若y＝，则y′＝－<0，∴曲线y＝上任意点处的切线的斜率k<0，故其切线方程不可能为y＝x＋b.
2．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( C )
A． B．0
C．钝角 D．锐角
[解析] y′|x＝4＝(exsin x＋excos x)|x＝4
＝e4(sin 4＋cos 4)＝e4sin (4＋)<0，
故倾斜角为钝角，选C．
3．曲线y＝在点(0，f(0))处的切线方程为( A )
A．x－2y＝0 B．2x－y＝0
C．x－4y＝0 D．4x－y＝0
[解析] ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝0＝，∵f(0)＝0，
∴切线方程为：y＝x，即x－2y＝0.
4．(2019·滁州分校下学期检测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( C )
A．2 B．－2
C．3 D．－2或3
[解析]
设切点坐标为(x0，y0)(x0>0)，f′(x)＝－，f′(x0)＝－＝，x－x0－6＝0，解得x0＝3，x0＝－2(舍)，选C．
5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( D )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
[解析] ∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
于是解得m＝－2.故选D.
二、填空题
6．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__e__.
[解析]
∵ f(x)＝exln x，
∴ f′(x)＝exln x＋，∴ f′(1)＝e.
7．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f ′(x)，若f ′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为__y＝－3x__.
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f ′(－x)＝f ′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，对任意x∈R都成立，
所以a＝0，f ′(x)＝3x2－3，f ′(0)＝－3，
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为13x－y－32＝0.
(2)解法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，
解之得，x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴，或.
∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
课件41张PPT。第三章导数及其应用3.2 导数的计算3.2.2 导数的运算法则自主预习学案
导数的运算法则f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x) A [解析] ∵f(x)＝ax2＋c，∴f ′(x)＝2ax，
又∵f ′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.C
3．函数y＝x4＋sin x的导数为 ( )
A．y′＝4x3 B．y′＝cos x
C．y′＝4x3＋sin x D．y′＝4x3＋cos x
[解析] y′＝(x4＋sin x)′＝(x4)′＋(sin x)′
＝4x3＋cos x.D 135° [解析] f′(x)＝x2－2x，∴曲线在x＝1处的切线的斜率k＝12－2×1＝－1，∴倾斜角为135°.[解析] (1)y′＝(sin x－2x2)′
＝(sin x)′－(2x2)′
＝cos x－4x.互动探究学案命题方向1 ?导数的四则运算法则的应用典例 1
(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；命题方向2 ?利用导数求参数 (2019·云南昆明高二调研)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．典例 2[思路分析] 本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y＝f′(x)的图象可知y＝f′(x)过点(1,0)、(2,0)，即f′(1)＝0，f′(2)＝0.『规律方法』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
〔跟踪练习2〕
偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，
∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.命题方向3 ?导数的综合应用典例 3『规律方法』 求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点．若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点．〔跟踪练习3〕
函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB.综合应用问题灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．典例 4[思路分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.『规律总结』 处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解．〔跟踪练习4〕
(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为_____.1 准确应用公式典例 5[错解分析] 应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母－分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“＋”．D A 6 1 [解析] 函数f(x)＝xex，
则f ′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，
∴f ′(0)＝(1＋0)e0＝1.
故答案为1.课 时 作 业 学 案
