第三章 3.3 3.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·上城区校级模拟)定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的增区间是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(0,1) D．(1,2)
[解析] 由题意如图f ′(x)≥0的区间是(－∞，2)
故函数y＝f(x)的增区间为(－∞，2)
故选B.
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( A )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[解析] f ′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
3．函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( C )
A．(，＋∞) B．(－∞，]
C．[，＋∞) D．(－∞，)
[解析] y′＝3x2＋2x＋m，由题意知3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
4．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( C )
[思路分析] 由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．
[解析] 由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数．
只有C符合题意，故选C．
5．函数y＝xln x在(0,5)上的单调性是( C )
A．单调递增
B．单调递减
C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增
D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)．
∵y′＝ln x＋1，令y′>0，得x>.
令y′<0，得0∴函数y＝xln x在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增．
6．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( D )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 由条件知f ′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．
二、填空题
7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为__(－∞，－)，(1，＋∞)__.
[解析] ∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
∴由y′>0得，x>1或x<－.
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝__－3__，c＝__－9__.
[解析] f ′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由条件知，
即，
解得b＝－3，c＝－9.
三、解答题
9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－6ax＋3b.
因为f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f ′(1)＝－12，
即，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f ′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f ′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f ′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是( D )
[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，故选D.
2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( C )
A．y＝2－3x2 B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝sin x
[解析] A中，y′＝－6x，当－10，当00对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sin x在(－1,1)上是增函数．
3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f ′(x)<0，则下列各项正确的是( C )
A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
[解析] 当x>1时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(1)>f(2)．
当x<1时，f ′(x)>0，f(x)是增函数，
∴f(0)4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f ′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( B )
A．f ′(x)>0，g′(x)>0 B．f ′(x)>0，g′(x)<0
C．f ′(x)<0′，g′(x)>0 D．f ′(x)<0，g′(x)<0
[解析] 由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f ′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0时f ′(x)>0，g′(x)<0.
5．若函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是( D )
A．(－2,0) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
[解析] 由题意知，f′(x)＝1－，
∵函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，
∴当1－＝0时，b＝x2，
又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)，
令f′(x)>0，解得x<－或x>，
即f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，
∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．故选D.
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为__(，π)__.
[解析] 由f′(x)＝1－2cos x>0得cos x<，又x∈(0，π)，所以7．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是__(－∞，)__.
[解析] f ′(x)＝＝，
由题意得x>－2时，f ′(x)≤0恒成立，
∴2a－1≤0，∴a≤.
又当a＝时，f(x)＝＝，
此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a≠.
综上可知，a的取值范围为(－∞，)．
三、解答题
8．(2018·全国Ⅱ文，21)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
[解析] (1)解：当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减．
(2)证明：因为x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，
仅当x＝0时g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
课件43张PPT。第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数自主预习学案
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：增 减 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上快 陡峭 慢 平缓 C
2．函数y＝x3＋x的单调递增区间为 ( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[解析] ∵y′＝3x2＋1>0恒成立，∴函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D.D C
4．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是_____________.
[解析] ∵y′＝3ax2≤0恒成立，∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1不是减函数，∴a≠0.
故a的取值范围是(－∞，0)．(－∞，0) 互动探究学案命题方向1 ?利用导数求函数的单调区间 (2019·贵州安顺高二质检)求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x≤2π)；
(2)f(x)＝x3－2x2＋x＋1.
[思路分析] 由于函数的单调性与函数导数的符号有关，因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间．典例 1『规律方法』 1.函数的单调区间是定义域的子集，利用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间，必须先考虑函数的定义域，写函数的单调区间时，一定要注意函数的不连续点和不可导点．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．〔跟踪练习1〕
函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)>0得x>2，∴选D.D 命题方向2 ?已知函数的单调性，确定参数的取值范围典例 2
解法二：(转化为不等式恒成立的问题)
f ′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，
所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f ′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
综上知5≤a≤7.
『规律方法』 1.已知函数f(x)在某区间A上单调求参数的值或取值范围时，一般转化为在区间A上f ′(x)≥0(f(x)单调递增时)或f ′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解，有时也用数形结合方法求解．
2．y＝f(x)在(a，b)内可导，f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f ′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．〔跟踪练习2〕
已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．命题方向3 ?利用导数研究函数的单调性 (1)(2019·临沂高二检测)f ′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( )典例 3D 『规律总结』 1.函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f ′(x)：(1)若f ′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f ′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f ′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．命题方向4 ?转化思想的应用——构造法证明不等式 已知x＞1，求证：x＞lnx.典例 4『规律方法』 构造函数，利用导数确定函数单调性，把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题，实现了复杂问题简单化．构造法是用导数研究函数中常用到的基本方法．含参数的函数的单调性与单调区间问题当给定的函数有字母参数时，求单调区间一般需要分类讨论，不同的化归方法和运算顺序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性和全面性．一般来说，此类问题可归结为解含参数的一元二次不等式，要注意对参数讨论，其讨论标准为：
①对二次项系数进行大于零、小于零、等于零分类讨论；
②当二次项系数不为零时，再对判别式进行大于零、小于零、等于零分类讨论；
③当判别式大于零时，再对两根的大小进行讨论．
另外，有时也根据f′(x)>0与f′(x)<0的解集与定义域交集形式的不同展开讨论．
已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．典例 5『规律方法』 用导数研究函数的单调性时，往往易忽略函数的定义域，造成所求的单调区间不正确．因此一定要牢记在函数定义域范围内研究函数的性质．〔跟踪练习5〕
设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底部，讨论f(x)的单调性．研究函数一定要注意函数的定义域典例 6B A B (－∞，－2)，(2，＋∞) 课 时 作 业 学 案
