第三章 3.3 3.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 极小值点应有先减后增的特点，即f ′(x)<0→f ′(x)＝0→f ′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点．
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( A )
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
[解析] ∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，
则x，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
－
＋
y
↗
c＋2
↘
c－2
↗
因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( D )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
[解析] f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x<－2或x>2，令f′(x)<0得－2
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
∴当x＝2时， f(x)取极小值，即2是函数f(x)的极小值点，故a＝2.
4．设函数f(x)＝xex，则( D )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
[解析] f ′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
令f ′(x)>0，得x>－1，
令f ′(x)<0，得x<－1，
∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．
5．设函数f(x)＝＋ln x，则( D )
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．
f ′(x)＝－＋＝(1－)，
由f ′(x)＝0可得x＝2.
当02时，
f ′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．
对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( D )
A．2 B．3
C．6 D．9
[解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知f ′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤()2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D.
二、填空题
7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是__－1__.
[解析] f ′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，
令f ′(x)>0得－12，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为__y＝－__.
[解析] ∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＝－1时y有极小值，此时y|x＝－1＝－，而y′|x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－.
三、解答题
9．(2019·长泰一中、南靖一中检测)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx在x＝1处取极值．
(1)求f(x)，并求函数f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)因为f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx，所以f′(x)＝－2x＋a－(x>0)．
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，即－2＋a－1＝0，
解得a＝3.
因为f′(x)＝－2x＋3－(x>0)，f(2)＝3－ln2，f′(2)＝－，
所以函数f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝－x＋6－ln2.
(2)由(1)f′(x)＝－2x＋3－(x>0)，
令f′(x)>0，即－2x＋3－>0，解得所以f(x)的单调递增区间为(，1)．
令f′(x)<0，即－2x＋3－<0，解得01，
所以f(x)的单调递减区间为(0，)，(1，＋∞)．
综上，f(x)的单调递减区间为(0，)和(1，＋∞)，单调递增区间为(，1)．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值
[解析] y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，
∵－2∴令y′>0得－2∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减，
∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．
2．(2019·杭州二模)已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝(x－a)2lnx( C )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
[解析] ∵a＞0 且 a≠1，函数 f (x)＝(x－a)2lnx，
∴f ′(x)＝2(x－a)lnx＋＝(x－a)(2lnx＋1－)，
由f ′(x)＝0，得x＝a或2lnx＋1－＝0，
由方程2lnx＋1－＝0，
作出g(x)＝2lnx＋1和h(x)＝－的图象，
结合图象得g(x)＝2lnx＋1和h(x)＝－的图象有交点，
∴方程2lnx＋1－＝0有解，
由此根据函数的单调性和极值的关系得到：
函数f (x)＝(x－a)2lnx既有极大值，又有极小值．
故选C．
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( A )
A．，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
[解析] f ′(x)＝3x2－2px－q，
由f ′(1)＝0，f(1)＝0得，
，解得，
∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f ′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
4．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是( D )
A．[－3,6] B．(－3,6)
C．(－∞，－3]∪[6，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
[解析] 函数的导数为f ′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)，要使函数f(x)既存在极大值又存在极小值，则f ′(x)＝0有两个不同的根，所以判别式Δ>0，即Δ＝4m2－12(m＋6)>0，所以m2－3m－18>0，解得m>6或m<－3.
5．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( C )
A．[－5,0) B．(－5,0)
C．[－3,0) D．(－3,0)
[解析] 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，解得a∈[－3,0)，故选C．
二、填空题
6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝__－__.
[解析] f ′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得，
∴a＝－.
7．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是__(－2,2)__.
[解析] f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，
当x<－1，或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调增；
当－1∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，应有－2三、解答题
8．(2018·北京文，19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
[解析] (1)解：因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
f′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)解：由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
课件45张PPT。第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数自主预习学案
1．极小值点与极小值
若函数f(x)满足：
(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)______ f(a)；
(2)f′(a)＝_____；
(3)在x＝a附近的左侧_____________，在x＝a附近的右侧_____________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
≥ 0 f′(x)<0 f′(x)>0
2．极大值点与极大值
若函数f(x)满足：
(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)______ f(b)；
(2)f′(b)＝_____；
(3)在x＝b附近的左侧_____________，在x＝b附近的右侧_____________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为__________.
(2)极大值与极小值统称为________.
≤ 0 f′(x)>0 f′(x)<0 极值点 极值 4．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧_____________，右侧_____________，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧_____________，右侧_____________，那么f(x0)是极小值．
f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)<0 f′(x)>0 1．函数y＝x3＋1的极大值是 ( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．
D
2．下列说法正确的是 ( )
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值
[解析] 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A，B，D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.C C 4．(2019·安徽淮南一中月考)若x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则a＋b＝________.5．已知k为实数， f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求y＝f(x)在区间[－2,2]上的极值．互动探究学案命题方向1 ?利用导数求函数的极值 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[思路分析] 首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．典例 1『规律方法』 1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极小值；
(3)如果f ′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．
2．利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
〔跟踪练习1〕
(1)(2019·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4A B 命题方向2 ?已知函数极值求参数 (2019·山东临沂检测)已知函数f(x)＝ax4·ln x＋bx4－c(x>0)．在x＝1处取得极值－3－c，其中a、b、c为常数．
(1)试确定a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间．
[思路分析] 本题考查函数极值的逆向应用．(1)根据f(1)＝－3－c和f′(1)＝0即可求解；(2)根据函数的导数和单调性的关系可解决．典例 2『规律方法』 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．〔跟踪练习2〕
已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间．命题方向3 ?图象信息问题 右图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是______(将你认为正确的序号填在横线上)．
[思路分析] 给出了y＝f ′(x)的图象，应观察图象找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．典例 3③ 『规律方法』 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．〔跟踪练习3〕
函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x) ( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[解析] 设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x0，f(x)为增函数，
当x1则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．C 利用函数极值研究方程根的个数对于方程f(x)＝a的根的个数问题，我们可将问题转化为函数y＝f(x)与函数y＝a的图象的交点个数问题．在解决问题时，可遵循以下步骤：
第一步：利用导数判断函数y＝f(x)的单调性及极值等情况，综合各种信息画出函数y＝f(x)的大致图象；
第二步：研究函数y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数；
第三步：根据交点个数写出方程根的情况．
如果方程f(x)＝0是三次方程，也可以按照如下步骤处理：
第一步：求导数y＝f′(x)，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数的单调性及极值的情况，进一步得到反映三次函数大致趋势的图；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)，主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式(组)即可．典例 4
[解析] (1)由题意知f′(x)＝x2－(k＋1)x，
而方程f′(x)＝x2－(k＋1)x＝0的根的个数有限，
∴要使f(x)在区间(2，＋∞)上为增函数，
只需f′(x)＝x2－(k＋1)x≥0在区间(2，＋∞)上恒成立即可，即k＋1≤x在区间(2，＋∞)上恒成立．
∴k＋1≤2，故k≤1.
∴k的取值范围为k≤1.〔跟踪练习4〕
(2019·全国Ⅱ卷文，21)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．注意极大值点与极小值点的区别 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．典例 6[错解分析] 根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x＝－1时函数两侧的单调性，导致错误．
[正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.D C －2 －19 5．(2018·全国卷Ⅰ文，21(1))已知函数f(x)＝aex－ln x－1.设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间．课 时 作 业 学 案