第三章 3.3 3.3.3
作业1
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( A )
A．12；－8 B．1；－8
C．12；－15 D．5；－16
[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A．
2．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( C )
A．最大值为13，最小值为 B．最大值为1，最小值为－17
C．最大值为13，最小值为1 D．最大值为9，最小值为－19
[解析] ∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，
令y′＝0，∴x＝，f(－3)＝13，f＝(舍)，
f(0)＝1.
3．函数f(x)＝3x－x3(－≤x≤3)的最大值为( B )
A．18 B．2
C．0 D．－18
[解析] f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1，－≤x<－1时，f ′(x)<0，－1
0,1∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，
又f(－)＝0，f(3)＝－18，
∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.
4．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是( C )
A．(，) B．(π，2π)
C．(π，) D．(2π，3π)
[解析] y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，xcosx>0，故选C．
5．下列说法正确的是( D )
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．在闭区间上的连续函数一定存在最值
[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D正确．
6．函数f(x)＝ln x－x在区间[0，e]上的最大值为( A )
A．－1 B．1－e
C．－e D．0
[解析] f′(x)＝－1＝，
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得1∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x＝1时，f(x)取极大值，这个极大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.
二、填空题
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是__[0，e]__.
[解析] f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
f(－1)＝e, f(0)＝0, f(1)＝，
∴f(x)max＝e, f(x)min＝0，
故函数f(x)的值域为[0，e]．
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是__(－4，－2)__.
[解析] f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．
三、解答题
9．(2019·沈阳市期中)设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明：当x≥0时，f(x)≤x＋1.
[解析] (1)f′(x)＝(－2x)ex＋(1－x2)ex＝(1－2x－x2)ex，
∴f′(0)＝1，又f(0)＝1，
∴y－1＝x，
即切线方程为x－y＋1＝0.
(2)要证(1－x2)ex≤x＋1，
由于x≥0，只需证明(1－x)ex≤1，即证(1－x)ex－1≤0，
设φ(x)＝(1－x)ex－1，则φ′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex，
x≥0，φ′(x)≤0(且不恒为0)成立，
∴φ(x)在[0，＋∞)单调递减，且φ(0)＝0，
∴φ(x)≤0成立，
即x≥0时，f(x)≤x＋1成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( A )
A． B．
C． D．
[解析] f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，
∵f＝，f(0)＝f(1)＝0.
∴f(x)max＝.
2．(2019·梧州一模)设函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵函数f(x)＝－x3＋3bx(b＞0)，∴f ′(x)＝－3x2＋3b，
令f ′(x)＝0，当b＞0时，可得x＝±，
x∈(－∞，－)，x∈(，＋∞)，f ′(x)＜0，函数是减函数，则函数的极大值：f()＝2b，
当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，
可知≤1时，f()＝2b，解得b＝，
当b≥1时，f(1)＝－1＋3b＝1，无解．
当b≤0时，x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，不成立；
函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是，
故选C．
3．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：
①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；
②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；
③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．
其中正确的命题个数是( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．
4．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为( C )
A．[f(0)，f(5)] B．[f(0)，f()]
C．[f()，f(5)] D．[c，f(5)]
[解析] f ′(x)＝6x－4，令f ′(x)＝0，则x＝，0时，f ′(x)>0，得f()为极小值，再比较f(0)和f(5)与f()的大小即可．
5．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( D )
A．15 B．16
C．17 D．18
[解析] x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2，则由3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.故选D.
二、填空题
6．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是__－10__.
[解析] f ′(x)＝6x2－6x－12，令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f ′(x)
－12
－
0
＋
24
f(x)
5
↘
－15
↗
－4
由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，
所以f(x)max＋f(x)min＝－10.
7．若函数f(x)＝x－2＋2x－a在区间[，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝____.
[解析] ∵f′(x)＝－2x－3＋2＝，
∴当10，
当∴f(x)在[，1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1＋2－a＝3－a＝n.
又∵f()＝5－a，f(3)＝－a，∴f()∴f(x)max＝f(3)＝－a＝m，
∴m－n＝－a－(3－a)＝.
三、解答题
8．(2019·天津一中期末)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中2a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)x>0时，求证：f(x)≥g(x)．
[解析] (1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．
∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由题意f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)．
即由x0＋2a＝得：x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna
令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)．
于是
当t(1－3lnt)>0，即00；
当t(1－3lnt)<0，即t>e时，h′(t)<0，
故h(t)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
于是h(t)在(0，＋∞)的最大值为h(e)＝e，
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)
则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)
故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，＋∞)为增函数，于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.
故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．
作业2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
[解析] 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．
故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.
2．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( C )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
[解析] 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0.
3．(2019·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( D )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
[解析] ∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，
∴[x2f(x)]′＝，
令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，
令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.
又x＞0，∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.
4．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，
∴x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，
∴f(1)为最大值．故选B.
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( A )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
[解析] ∵f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f ′(x)＝0得x＝0或2.
∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，
∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.
6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( B )
A．0≤a<1 B．0C．－1[解析] ∵f ′(x)＝3x2－3a，令f ′(x)＝0，可得a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0二、填空题
7．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是__2－2ln2＋2a__.
[解析] 令f′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
8．
已知函数f(x)＝2lnx＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__[e，＋∞)__.
[解析] f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.
令g(x)＝2x2－2x2lnx，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2lnx)．
由g′(x)＝0得x＝e，
且00；当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f ′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0.
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0，
解得x1＝－(舍去)，x2＝，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．若函数f(x)在定义域R内可导，f(1.9＋x)＝f(0.1－x)且(x－1)f′(x)＜0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( D )
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>a>c
[解析] ∵(x－1)f′(x)＜0，
∴当x＞1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减；
当x＜1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增．
又f(1.9＋x)＝f(0.1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，
∴f(3)＝f[2－(－1)]＝f(－1)，
∵－1＜0<，
∴f(－1)＜f(0)＜f()，∴f(3)∴b＞a＞c，故选D.
2．(2019·铁东区校级一模)已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上最大值为M，最小值为N，则M－N＝( A )
A．20 B．18
C．3 D．0
[解析] 函数f(x)＝x3－3x－1的导数为f ′(x)＝3x2－3，
令f ′(x)＝0，解得x＝±1，
所以(1，－1)为函数f(x)的极值点．
因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，M＝f(x)max＝1，
N＝f(x)min＝－19，
对于区间[－3,2]上最大值为M，最小值为N，则M－N＝20，
故选A．
3．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( D )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．(0，)
[解析] y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)内必有实数解，
记f(x)＝3x2－2a，如图
所以解得04．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( C )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
[解析] f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
5．已知(a＋1)x－1－lnx≤0对任意x∈[，2]恒成立，则实数a的最大值为( C )
A．0 B．1
C．1－2ln2 D．
[解析] 原问题等价于a＋1≤对任意x∈[，1]恒成立，令h(x)＝，则h′(x)＝－，令h′(x)＝0，得x＝1，且当x∈[，1)时，h′(x)>0，当x∈(1,2]时，h′(x)<0，所以函数h(x)在[，1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min{h()，h(2)}＝h()＝2－2ln2，所以a≤2－2ln2－1＝1－2ln2.故选C．
二、填空题
6．(2019·红桥区一模)函数y＝－ex＋x在R上的最大值是__－1__.
[解析] 函数y＝－ex＋x，y′＝1－ex，由y′＝0得x＝0，
当x∈(－∞，0)时，y′＞0，函数y＝x－ex单调递增，
当x∈(0，＋∞)时，y′＜0，函数y＝x－ex单调递减，
所以，当x＝0时，y取得最大值，最大值为－1.
故答案为－1.
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是__(－1,0)∪(1，＋∞)__.
[解析] 令g(x)＝(x≠0)，
∵x>0时，>0，
∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f′(x)＝3ax2＋b，
∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
∴即
化简得解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数，
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2,2)上为减函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16，由题设条件知16＋c＝28得c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)上[－3,3]的最小值为f(2)＝－4.
课件43张PPT。第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.3 函数的最大(小)值与导数自主预习学案
1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是________________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在__________内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的__________与端点处的______________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一条连续不断 (a，b) 各极值 函数值f(a)、f(b) 最大 最小 1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x) ( )
A．最大值为4，最小值为－4 B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值 D．既无最大值，也无最小值
[解析] f′(x)＝－4x3＋4x，
由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0.
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.B B
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是 ( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
[解析] 对函数求导f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是f(0)＝2，故选C．
C
4．函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最大值为______.
[解析] y′＝4x3－4x，令y′＝0，
即4x3－4x＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，又f(－2)＝13，f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(2)＝13，
故最大值为13.
13
5．求下列函数的最值．
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
[解析] (1)f′(x)＝－4x3＋4x.
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3.
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时， f(x)最小值＝－12；
x＝1时， f(x)最大值＝2，
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.互动探究学案命题方向1 ?利用导数求函数的最大值与最小值典例 1C 『规律总结』 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．A A [解析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.命题方向2 ?含参数的函数最值问题 (2019·云南元谋一中期中)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求f(x)在该区间上的最小值．
[解析] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9
令f′(x)<0，得x<－1，或x>3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，
单调递增区间为(－1,3)．典例 2(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)>f(－2)．
∵在(－1,3)上f′(x)>0.
∴f(x)在(－1,2)上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，
∴f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，
解得a＝－2.
∴f(－1)＝a－5＝－7，
即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.『规律方法』 已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
〔跟踪练习2〕
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a、b的值．
[解析] f ′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．
令f ′(x)＝0，得x＝0，x＝4.
∵x∈[－1,2]，∴x＝0.
由题意知a≠0.函数最值的综合应用函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助导数求值．典例 5[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．『规律方法』 对于根据不等式恒成立求参数的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min即可求出参数m的取值范围．(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.
令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f(x)＋e≥0.没有准确把握条件致误典例 4[辨析] (1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因可能是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致．[点评] 由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点．
1．函数f(x)＝x2－3x(|x|<2) ( )
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值C A 32 5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值．课 时 作 业 学 案