第二章 2.2 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于综合法和分析法的说法错误的是( C )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
[解析] 综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误．
2．“对任意角θ，都有cos4 θ－sin4 θ＝cos2 θ”的证明过程：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos2 θ”应用了( B )
A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．间接证法
[解析] 证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．
3．若a
A．< B．a＋>b＋
C．b＋>a＋ D．<
[解析] ∵a，
又∵b>a，∴b＋>a＋.
4．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( D )
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C．－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
[解析] 由a2＋b2－1－a2b2≤0，得(a2－1)－b2(a2－1)≤0，即(a2－1)(b2－1)≥0，故选D．
5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( D )
A．x<C．x<<2xy[解析] ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( A )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．
二、填空题
7．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为__(10,5)__.
[解析] 设(△，□)为(a，b)，则30－a＝4b，
即a＋4b＝30，＋＝(＋)·
＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝2b时等号成立．
又有a＋4b＝30，可得a＝10，b＝5.
8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是__4__.
[解析] ∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．
又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．
又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，
由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.
三、解答题
9．已知n∈N*，且n≥2，求证：>－.
[解析] 要证>－，
即证1>n－，只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．设0A．a B．b
C．c D．不确定
[解析] ∵b－c＝1＋x－＝<0，
∴b又∵b＝1＋x>＝a，
∴a2．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分与不必要条件
[解析] ∵·>0，∴∠A为锐角，但∠B、∠C的大小不确定，故选B．
3．在R上定义运算⊙?a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( B )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1＋∞)
D．(－1,2)
[解析] x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0?x2＋x－2<0?－24．要使－<成立，a、b应满足的条件是( D )
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a[解析] －∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
二、填空题
5．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为__m>n__.
[解析] 因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
6．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝__－__.
[解析] 条件变为sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－.
三、解答题
7．已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
[解析] 解法一：(综合法)
(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝··＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
解法二：(分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，只需证··≥8成立．
∵a＋b＋c＝1，∴只需证··≥8成立，即··≥8.只需证··≥··≥8成立．而··≥8显然成立，∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．
8．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
[解析] 解法一(分析法)：
要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lg c，
即要证lg(··)>lg(abc)，
只需证··>abc.
∵≥>0，≥>0，≥>0，
∴··≥abc>0.(*)
又∵a、b、c是不全相等的正数，
∴(*)式中等号不成立，∴原不等式成立．
解法二(综合法)：∵a、b、c∈R＋，
∴≥>0，≥>0，≥>0.
又∵a、b、c是不全相等的正数，
∴··>abc.
∴lg(··)>lg(abc)．
∴lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
课件37张PPT。第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法自主预习学案C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C先生很感激．车上的人开始小声议论C先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生想这下可以证明我的清白了．下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证明了他的清白．
1．综合法
(1)定义：利用____________和某些数学________、________、________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．已知条件 定义 定理 公理 推理论证 (2)特点：从“已知”看“________”，逐步推向“________”，其逐步推理，是由______导______，实际上是寻找“已知”的________条件．
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“__________”和有效的____________是有效利用综合法证明数学问题的关键．可知 未知 因 果 必要 切入点 推理途径 2．分析法
(1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法
(2)特点：分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“________”，执果索因，逐步靠拢“________”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的________条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．结论 充分 需知 已知 充分 [解析] 利用分析法易确定命题成立的充分条件．B 2．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] ∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；
∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件
故选A．A 9 4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[解析] 因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>3(a2－b2)＝3(a－b)(a＋b)>0，
所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.互动探究学案 已知a、b是正数，且a＋b＝1，命题方向1 ?综合法的应用典例 1 『规律方法』 1.综合法证明数学命题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．命题方向2 ?分析法的应用典例 2 『规律方法』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法．
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．准确把握条件 典例 3 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．利用分析法、综合法证明问题 [思路分析] 本题条件较为简单，但结论中的等式较为复杂，故可首先用分析法，将欲证等式进行转化，转化为一个较为简单的式子，然后再从已知条件入手，结合余弦定理，推导出这个式子即可得证．典例 4 『规律方法』 1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．
2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程 .1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定B C C a>c>b 5．已知a>0，b>0且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2.
[解析] 要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．
因为a>0，b>0，a＋b>0.
所以只需证a2－ab＋b2>ab，
只需证a2－2ab＋b2>0，
即(a－b)2>0，
依题意a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
那么a3＋b3>a2b＋ab2成立．课时作业学案