第二章 2.2 2.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( C )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[解析] “最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．
2．如果两个数之和为正数，则这两个数( D )
A．一个是正数，一个是负数
B．都是正数
C．不可能有负数
D．至少有一个是正数
[解析] 两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为( D )
A．自然数a、b、c都是奇数
B．自然数a、b、c都是偶数
C．自然数a、b、c中至少有两个偶数
D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数
[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．
4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( B )
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C．＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤
[解析] ∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.
5．用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是( A )
A．假设a，b，c都是奇数
B．假设a，b，c至少有两个是奇数
C．假设a，b，c至多有一个是奇数
D．假设a，b，c不都是奇数
[解析] 由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“a，b，c中至多有两个是奇数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选A．
6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
二、填空题
7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于____.
[解析] 假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，故a、b、c中至少有一个数不小于.
8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是__异面__.
[解析] 假设AC与BD共面于平面 α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB?α，CD?α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
三、解答题
9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
[解析] 假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
而b2＝ac，即b＝，
则有a＋c＋2＝4.
即(－)2＝0.
所以＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题不适合用反证法证明的是( C )
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1
[解析] A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．
2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( C )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b
0，Q>0，R>0.
3．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．
4．“已知函数f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( B )
A．假设|f(1)|≥且|f(2)|≥
B．假设|f(x)|<且|f(2)|<
C．假设|f(1)|与|f(2)|中至多有一个不小于
D．假设|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于
[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
假设|f(1)|＜且|f(2)|＜，故选B．
二、填空题
5．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是__①__.
[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．
6．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为__(－3，)__.
[解析] 解法一：(补集法)
令，即，
即，
∴p≤－3或p≥，
∴实数p的取值范围是－3解法二：(直接法)
依题意，有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
∴－三、解答题
7．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
[解析] 假设x0为方程f(x)＝0的负根，
则有ax0＋＝0，
即ax0＝＝＝－1＋，
显然x0≠－1.
1°当0>x0>－1时，1>x0＋1>0，
>3，－1＋>2.
而x0>－1的解．
2°当x0<－1时，x0＋1<0，<0，－1＋<－1.
而ax0>0，矛盾，即不存在x0<－1的解．
综上所述方程f(x)＝0没有负数根．
8．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．
[解析] 解法一：假设＋为有理数，令＋＝t，
则＝t－，两边平方，得b＝t2－2t＋a，
∴＝.
∵a、b、t均为有理数，∴也是有理数．
即为有理数，这与已知为无理数矛盾．
故假设不成立．
∴＋一定是无理数．
解法二：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b.
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数，即a－b为有理数．
∴为有理数，∴－为有理数．
∴(＋)＋(－)为有理数，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
课件42张PPT。第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反 证 法自主预习学案从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一个囚犯行将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”．不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”．国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法．
1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．矛盾 错误 成立 3．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与____________矛盾，或与________矛盾，或与____________________、事实矛盾等．已知条件 假设 定义、公理、定理
4．反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：
(1)直接证明需分多种情况的；
(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；
(3)关于唯一性、存在性的命题；
(4)________以“至多”“至少”等形式出现的命题；
(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，________的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．结论 结论 1．用反证法证明“如果a3>b3，则a>b”，假设的内容是( )
A．aC．a≤b D．a≥b
[解析] 用反证法证明“如果a3>b3，则a>b”时，提出的假设为a≤b.C C 3．实数a、b、c不全为0等价于( )
A．a、b、c均不为0
B．a、b、c中至多有一个为0
C．a、b、c中至少有一个为0
D．a、b、c中至少有一个不为0
[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．D 4．用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是______________________.
[解析] 结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．假设a≠1或b≠1 5．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
[解析] 假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.
相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与三角形内角和定理矛盾．
所以假设不成立，故原命题正确．互动探究学案 设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．命题方向1 ?用反证法证明否(肯)定性命题 典例 1 『规律方法』 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“?q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．〔跟踪练习1〕
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.
[解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.『规律方法』 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法．[思路分析] 明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾．命题方向2 ?用反证法证明“至多”“至少”类命题典例 2 『规律方法』 1.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
求证：方程2x＝3有且只有一个根．
[思路分析] 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．命题方向3 ?用反证法证明存在性、唯一性命题典例 3 [解析] 显然x＝log23是方程的一根，
假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．
则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.
∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.
如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．
故2x＝3有且只有一个根．『规律方法』 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．〔跟踪练习3〕
已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．
[解析] ∵a∥b，
∴过a、b有一个平面α.
又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，
∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α.
即过a、b、m有一个平面α
假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.
则a?α，b?α，a?β，b?β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面． 已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
[错解] 假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．
∴假设不成立，∴原命题成立．
[辨析] 错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”准确写出反设 典例 4
[正解] 假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，
∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．
又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．
故“a≤0”不成立，∴a>0，
同理可证b>0，c>0.〔跟踪练习4〕
已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0.用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．
[解析] 假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根．
则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)＝4(p2－4)≥0，
解得p≤－2或p≥2，若p≤－2，则p＋2≤0,2p＋1<0，
(p＋2)(2p＋1)≥0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．
若p≥2，则p＋2>0,2p＋1>0，
(p＋2)(2p＋1)>0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．
所以假设不成立．
故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．分析法和综合法是对立统一的两种方法．一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法．当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的方法．一般来说，对于较复杂的证明，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，或者在证明过程中综合法与分析法并用，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．分析综合法
这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分证明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的落点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点． 已知n∈N，且n>1，求证：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)．典例 5 『规律方法』 (1)利用真数与底数相同，向同底转化．(2)本题先用分析法把证明一个对数不等式转化为证明一个式子大于零，然后利用对数性质及放缩法证明(*)式成立，进而说明原命题成立．前面为分析法，而中间的证明(*)式成立为综合法，即分析法用来转化，综合法用来证明．1．“aA．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a≥bD D 3．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab可被2整除，那么a，b中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是( )
A．a，b都能被2整除 B．a，b都不能被2整除
C．a，b不都能被2整除 D．a不能被2整除
[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被2整除，那么a，b至少有1个能被2整除．”的否定是“a，b都不能被2整除”．
故选B．B 4．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为__________________.
[解析] “且”的否定是“或”．x＝a或x＝b
5．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
[解析] 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0且c＋d＝0且a－d＝0且b＋c＝0，所以a＝b＝c＝d＝0与ad－bc＝1矛盾．
所以假设不成立，原结论成立．课时作业学案