第三章 3.1 3.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] i，(1－)i是纯虚数，8＋5i是虚数，2＋，0.618是实数，故选C．
2．如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( A )
A．－2 B．1
C．2 D．1或－2
[解析] 由题意得，，解得a＝－2，故选A．
3．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( A )
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D．＋i
[解析] 复数2i－的虚部为2，复数i＋2i2＝－2＋i，∴其实部为－2，故选A．
4．若复数z＝(a＋1)－(a2－1)i(a∈R)是实数，则a的值为( C )
A．－1 B．1
C．±1 D．不存在
[解析] 由题意，得a2－1＝0，∴a＝±1，故选C．
5．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( A )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
[解析] 依题意得，解得，故选A．
6．复数z＝a2＋b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是( D )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，
故a≤0.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝____，y＝__1__.
[解析] 由复数相等可知
，∴.
8．给出下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是__2＋，0.618，i2__.
[解析] 2＋，0.618，i2为实数，5i＋4，i为虚数．
三、解答题
9．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[分析] 按复数a＋bi(a、b∈R)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解．
[解析] (1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0 ①
且有意义 ②
解①得a＝－1且a＝6，
解②得a≠±1，
∴a＝6，即a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0 ③
且有意义 ④
解③得a≠－1且a≠6，
解④得a≠±1，
∴a≠±1且a≠6，
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，，
此方程组无解，
∴不存在实数a使z为纯虚数．
B级 素养提升
一、选择题
1．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( B )
A．－1 B．4
C．－1或4 D．不存在
[解析] 由条件知，，
∴，∴m＝4.
2．若a、b∈R, 且a>b，那么( D )
A．ai>bi B．a＋i>b＋i
C．ai2>bi2 D．bi2>ai2
[解析] ∵i2＝－1，a>b，∴ai23．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( C )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[解析] 由题意得，解得a＝－4.
4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( B )
A．2kπ－ B．2kπ＋
C．2kπ± D．＋(以上k∈Z)
[解析] 由，得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
二、填空题
5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－3__.
[解析] ∵z<0，∴，∴m＝－3.
6．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为__4__.
[解析] ∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，
∴，解得：x＝4.
三、解答题
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[解析] 由题意，得，
∴，
∴当m＝3时，原不等式成立．
8．设z＝(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)．
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解．
(1)若z是虚数，则其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是，解得1(2)若z是纯虚数，则其实部(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是，解得m＝2.
课件47张PPT。第三章数系的扩充与复数的引入我们知道，在实数范围内，解方程x2＋1＝0是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事．
同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念自主预习学案2018年8月，希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛．一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话．
张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？
王华：夸张的手法，不可比较．
张明：那么数m，n可否比较大小？
王华：未必．
同学们，你能准确回答张明的问题吗？1．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.
全体复数构成的集合叫做__________.
2．复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的________与________.
3．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?__________________.
4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是__________________，a＝0是z为纯虚数的______________条件．－1 复数集 实部 虚部 a＝c且b＝d a＝0且b＝0 必要不充分 1．复数2－3i的虚部是( )
A．3 B．－3
C．3i D．－3i
[解析] 复数2－3i的虚部为－3，故选B．B 2．(2019·山师附中高二期末测试)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m－1)i表示纯虚数，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0B 3．若复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，则实数m的值是( )
A．2 B．3
C．2或3 D．－1或6A 4．若a－2i＝bi＋1，a、b∈R，则a2＋b2＝______.5 5．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？互动探究学案 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3命题方向1 ?复数的概念B 典例 1 (2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是____________.
(3)判断下列命题的真假．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2)由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．『规律方法』 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．〔跟踪练习1〕
给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确的说法的序号是______.③
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．命题方向2 ?复数的分类典例 2 『规律方法』 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的．
2．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．〔跟踪练习2〕
实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
[解析] 设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.
(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，
得m＝0或m＝3，故m＝0或m＝3时，z为实数．
(2)要使z为虚数，必须有
m2－3m≠0，
得m≠0且m≠3，
故m≠0且m≠3时，z为虚数． 已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．
[思路分析] 由集合的运算列出等式关系，再根据复数相等的定义求m的值即可．命题方向3 ?复数相等典例 3 『规律方法』 复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解．〔跟踪练习3〕 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值． 在下列命题中，正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数．
A．0 B．1
C．2 D．3准确掌握概念 典例 4 [错解] 两个复数不能比较大小，故①正确；
设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)
∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．
若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，
所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．
综上可知：①②③都正确，故选D．
[辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．[正解] A 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；
设z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A．〔跟踪练习4〕
实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数？(2)实数？两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，从而这两个复数的虚部为0.根据复数的大小求参数的值 典例 5 『规律方法』 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．C 2．以3i－1的虚部为实部，以－2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．－2＋3i B．－2i＋3
C．－3＋i D．1－3i
[解析] 3i－1的虚部为3，－2＋i的实部为－2，故以3i－1的虚部为实部，以－2＋i的实部为虚部的复数是3－2i，故选B．B 3．如果复数－a＋2i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a的值等于______.
[解析] ∵复数－a＋2i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－a＋2＝0，∴a＝2.2 4．若y为纯虚数，x为实数，且满足1＋y＝2x－1＋2i，求x，y的值．课时作业学案
